Кривая Лаффера при монополии

Рыночный спрос имеет вид:
$$q=\begin{cases}
56-4p, & 0 \leq p \leq 12, \\
20-p, & 12 \leq p \leq 20
\end{cases}$$
Найдем оптимальный выпуск фирмы для каждого значения ставки налога. Для этого рассмотрим два случая поведения фирмы. В первом случае она устанавливает цену не больше 12, а во втором – больше.
Случай 1. $0\leq p \leq 12, 8\leq q\leq 56.$
В этом случае предельный доход фирмы $MR=14-0{,}5q$ (строго убывает с ростом выпуска), а предельные издержки $MC=2+t$ (постоянные). Следовательно оптимальный выпуск может быть найден из условия $MR=MC$:
$$q=24-2t.$$
Подставив этот выпуск в функцию прибыли, получаем:
$$PR=pq-2q-tq=(12-t)^2$$
Случай 2. $12\leq p \leq 20, 0 \leq q\leq 8.$
Аналогично предыдущему случаю, находим:
$$q=0{,}5(18-t).$$
$$PR=0{,}25(18-t)^2.$$
Устанавливая цену, фирма будет выбирать тот случай, в котором ее прибыль больше. То есть фирма может выбирать первый случай, если выполняется условие:
$$(12-t)^2\geq 0{,}25(18-t)^2$$
Решив это неравенство, получаем условие выбора первого варианта: $t\leq 6.$
Теперь мы можем для каждого значения ставки налога указать оптимальный выпуск фирмы.
$$q=\begin{cases}
24-2t, & 0 \leq t \leq 6, \\
9-0{,}5t, & t>6\\
\end{cases}$$
Точку $t=6$ мы включили в первый случай в соответствии с этим условием задачи: «Считайте, что, если при некоторой ставке налога максимальная прибыль фирмы достигается при двух различных объемах выпуска, то фирма выбирает наибольший из них».
Заметим также, что в каждом из двух случаев выпуск фирмы удовлетворяет соответствующему ограничению (в первом случае $8\leq q \leq 56$, во втором случае $0\leq q<8$).
Теперь уже можно получить уравнение кривой Лаффера:
$$T=\begin{cases}
(24-2t)t, & 0 \leq t \leq 6, \\
(9-0{,}5t)t, & t>6\\
\end{cases}$$
Максимальные поступления в бюджет равны 72 и достигаются при ставке налога равной 6.