Я больше не буду играть в эту игру

Промаксимизируем полезность:
$$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{max}$$
$$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$$
Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.

Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
$$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$$
$$\left[
\begin{gathered}
0 \leqslant p \leqslant 1
\\
20 \leqslant p \leqslant 21
\end{gathered}
\right.$$
Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.

Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
$$q^d =
\begin{cases}
21 - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
\\
\frac{20}{P},& 1 < P < 20
\\
21 - P,& 20 \leqslant P \leqslant 21
\\
0,& P > 21
\end{cases}
$$
Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$:
$$Q^d =
\begin{cases}
21 + \alpha - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
\\
\frac{20}{P} + \alpha,& 1 < P < 20
\\
21 + \alpha - P,& 20 \leqslant P < 21
\\
0,& P \geqslant 21
\end{cases}
$$

1. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
   $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 +27P-126$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
   $$P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
   Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции). Значит $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14$.
2. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
   $$\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P}$$
   $$\Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \forall P$$
   Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 6 = 14$.
3. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
   $$\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha - \alpha^2$$
   функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз по $P$, поэтому максимум – в вершине.
   $$P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]$$
   Подставим найденное значение цены в прибыль и промаксимизируем по $\alpha$:
   $$\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0,75\alpha^2 + 7,5\alpha + 56,25$$
   Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
   $$\alpha^* = 5 \notin [13, 15]$$
   Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е. $\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0,75\cdot 169 + 7,5 \cdot 13 + 56,25 = 27$.
4. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
   $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, поэтому максимум – в вершине.
   $$\alpha^* = \frac{P - 6}{2}$$
   Подставим полученное значение обратно в прибыль:
   $$\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}$$
   $$\Pi'_4 = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0~ \text{при допустимых} ~a$$
   Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63$.

Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.

1. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
   $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум – в вершине.
   $$P^* = \frac{31}{2} = 15,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
   Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10.$
2. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
   $$\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}$$
   $$\Pi'_2 = \frac{200}{P^2} > 0$$
   Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 10 = 10$.
3. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
   $$\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
   $$P^* = \frac{P - 10}{10}$$
   Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:
   $$\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6$$
   $$\Pi'_3 = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0$$
   $$P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
   Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5 + 10 - 6 = 9$.
4. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
   $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, значит максимум – в вершине.
   $$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$$
   Подставим найденное значение обратно в прибыль:
   $$\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14$$
   $$\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0$$
   Получили, что производная положительна для всех допустимых $P$, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5 - 10 + 14 = 9$.

Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.