Задача
В подборках
Эластичность
В олимпиадах
Эластичность
Темы
Сложность
Голосов еще нет
Автор
27.12.2011, 23:00 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:29
29.12.2011, 13:29
(0)
Дана некоторая функция f одной переменной и некоторый интервал $(a,b)$. Известно, что для любого $x\in (a,b)$: $Ef(x)>1$. Что мы можем сказать про возрастание функции $\frac{f(x)}{x} $ в данном интервале?
Комментарии
1) функция f(x) является возрастающей,
2)при этом приращение функции при переходе от любого х1 к х2 при х2>х1 (f(x2)-f(x1)) больше приращения аргумента (х2-х1)
Из этого следует, что в дроби f(x)/x при возрастании х числитель возрастает быстрее знаменателя
Значит, функция g(f(x))=f(x)/x - возрастает на данном интервале
Так как у нас $y=f(x)$ - любая функция, определенная, дифференцируемая и прочее на интервале $(a;b)$, где $a,b\in \mathbb{R}$ (в условии никаких ограничений на положительность или отрицательность нет), то контрпримером к пункту 1) может служить, например, функция $f(x)=-5x-20$ (пример банальный), у нее $Ef(x)>1$ для $x<-4$, но функция сама убывающая (можете сами убедиться)
В любом случае лучше писать не только словами, но и формулами, чтобы было максимально ясно, что ты имеешь в виду. Например, под фразой "числитель возрастает быстрее знаменателя".