Хоккейный клуб

В одном городе есть хоккейный клуб, для стабильного существования которого требуется компания, готовая стать его генеральным спонсором. Губернатор озадачился поиском финансирования для клуба, представляющего город в хоккейной лиге. Он обратился к фирме-монополисту, которая производит единицу продукции с издержками 2 д.е. и реализует товар на рынке, где спрос описывается функцией $q_{d}\left(p\right)=12-p$. Также фирма-монополист уплачивает потоварный налог по ставке 4 д.е. Губернатор не может направить эти налоговые поступления на финансирование хоккейного клуба, а взимание аккордных налогов запрещено законом. Чтобы заинтересовать фирму-монополиста в спонсорской деятельности, губернатором была предложена следующая схема:

• Фирма-монополист может выбрать сумму $x$ д.е. и внести её в пользу хоккейного клуба;
• В обмен на спонсорскую поддержку хоккейного клуба губернатор готов снизить ставку потоварного налога для фирмы-монополиста до величины $\left(4-\beta\cdot x\right)$ д.е. при $\left(4-\beta\cdot x\right)\geq0$ или до нуля, если $\left(4-\beta\cdot x\right)$ принимает отрицательные значения.

Считайте, что если фирме-монополисту безразлично, платить потоварный налог по базовой ставке 4 д.е. или же спонсировать хоккейный клуб, то она всегда предпочитает второй вариант (т.е. поддержку спорта). Величина налоговых льгот (коэффициент $\beta$) выбирается губернатором.

1. Найдите все значения $\beta$, при которых фирма-монополист согласится стать спонсором хоккейного клуба.
2. Какую величину налоговых льгот $\beta$ должен выбрать губернатор, если он хочет, чтобы размер спонсорской помощи хоккейному клубу $x$ д.е. был максимальным? Сколько при этом составит бюджет хоккейного клуба, т.е. величина $x_{\text{max}}$ д.е.?
3. Допустим, губернатор установил величину налоговых льгот $\beta$ на уровне, который вы определили в Пункте 2. Сравните налоговые отчисления фирмы при отказе от поддержки хоккейного клуба (т.е. при $x=0$) и размер спонсорской помощи $x_{max}$ д.е. Будет ли найденное вами соотношение между двумя указанными величинами (знак неравенства) оставаться таким же при других функциях спроса и иных издержках производства единицы продукции для фирмы-монополиста? Используйте формальные выкладки для аргументации своего ответа.