Задача

В олимпиадах

Высшая проба (олимпиада ВШЭ)  — 2019

Раздел

Баллы

20

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет
24.02.2019, 14:34 (Анастасия Таратутенко)
24.02.2019, 14:34
Фирма-совершенный конкурент работает на рынке, где цена установилась на уровне $p$ д.е. Производство $q$ единиц продукции обходится фирме в $\frac{q^{2}}{100}$ д.е. По итогам независимого аудита выяснилось, что доля $x\in\left(0,\,1\right)$ от всей произведённой фирмой продукции пропадает со склада и не доходит до продажи. В связи с этим фирма приняла решение нанять инспекторов, которые должны контролировать, чтобы произведённая продукция не исчезала со склада. Известно, что во избежание пропажи $Y$ единиц продукции (независимо от совокупного выпуска $q$), фирме необходимо потратить $\frac{Y^{2}}{16}$ д.е.

Пример. Допустим, фирма производит $q=50$ единиц продукции, 40% которой ($x=0,4$) исчезает со склада. Тогда без дополнительных инспекций до рынка дойдет лишь $\left(1-x\right)\cdot q=30$ единиц продукции. Если фирма хочет реализовать 38 единиц продукции из 50, она должна предотвратить пропажу $Y=8$ единиц продукции, затратив при этом $\frac{Y^{2}}{16}=4$ д.е.

  1. Определите, как объем производства фирмы $q$ зависит от доли пропавшей продукции $x$ и конкурентной цены $p$ при условии использования возможности мониторинга.
  2. При каком значении $x$ количество фактически исчезнувшей со склада продукции (т.е. величина $\left(x\cdot q-Y\right)$ при использовании возможности мониторинга) будет максимальным?