Рыцари при дворе короля Артура (8 класс)

12 рыцарей, поскольку при $n\geq13$ удовольствие каждого приглашенного становится неположительной, а при значениях от 1 до 12 оно строго больше нуля.

$\star$ Какое количество приглашенных оптимально с точки зрения каждого рыцаря, который желает получить максимальное удовольствие от посещения званого обеда?

6 или 7 рыцарей. Функция $U\left(n\right)$ достигает максимума в точке $n^{*}=6,5$. Поскольку количество приглашенных должно быть целым числом, квадратичная функция принимает максимальные значения, когда рыцарей 6 или 7.

$\star$ Какое количество приглашенных оптимально с точки зрения короля Артура, который желает, чтобы суммарное удовольствие всех присутствующих на обеде было максимально?

9 рыцарей. Король Артур максимизирует функцию $A\left(n\right)=n^{2}\left(13-n\right)$. Тогда простым перебором можно обнаружить, что максимум достигается при $n^{*}=9$.

Замечание 1: Очевидно, что перебор нужно делать только среди
чисел 7, 8, 9, 10, 11 и 12:
\[
U(7)=294,\,U(8)=320,\,U(9)=324
\]
\[
U(10)=300,\,U(11)=242,\,U(12)=144
\]
Действительно, когда за столом собираются 6 или 7 рыцарей, каждый их них получает максимальное удовольствие от посещения званого обеда. С точки зрения же короля Артура $n=7$ предпочтительнее, чем $n=6$. При $n=13$ каждый из собравшихся получает нулевое удовольствие, что точно не может быть максимумом.

Замечание 2: Можно было бы рассмотреть разницу суммарного удовольствия от $n+1$ и от $n$ рыцарей, приглашенных на званый обед, и определить, когда она становится отрицательной: \[
A\left(n+1\right)-A\left(n\right)=\left(n+1\right)^{2}\left(13-n-1\right)-n^{2}\left(13-n\right)=-3n^{2}+23n+12 \]
Корень этого выражения, удовлетворяющий условию $n\geq0$, принадлежит интервалу $\left(8,\,9\right)$. Следовательно, при $n=9$ суммарное удовольствие всех приглашенных на званый обед максимально.

$\star$ Сравните количество приглашенных рыцарей в Пунктах 2 и 3 и объясните, почему можно было бы предугадать результат этого сравнения, не проводя расчетов.

В Пункте 3 число рыцарей НЕ МЕНЬШЕ, чем в Пункте 2.

Причина в том, что если удовольствие каждого отдельного рыцаря максимально, то максимальное суммарное удовольствие не может быть меньше этого значения, а значит, и число рыцарей не может быть меньше.