математика

Понятие первообразной функции

Под дифференцированием функции $f(x)$ мы понимаем нахождение её производной $f'(x)$. Нахождение функции $f(x)$ по заданной её производной $f'(x)$ называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной $f'(x)$ восстанавливают функцию $f(x)$.

Некоторые функции могут не иметь производной во всех или в некоторых точках (если, например изменения функции являются резкими, а не гладкими, функция терпит разрыв).

Здесь мы будем говорить о функциях, имеющих производную на всей области определения, гладких, без разрывов и изломов.

Возьмем некоторую непрерывную функцию $f(x)$, определенную на промежутке $(-\infty;\infty)$. 

Иногда требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции, область определения которых это не множество всех действительных чисел $\mathbb R$, а множество целых чисел $\mathbb Z$ (или часто в экономике множества целых неотрицательных чисел $\mathbb Z_+$). Например, количество товара, потребляемого покупателем или производимого фирмой, может измеряться только целыми неотрицательными числами.

Безусловные экстремумы

Определение 1
Функцией $f(x)=y$ называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$, где каждому значению $x$ из области определения соответствует ровно одно значение $y$. Переменная $x$ называется аргументом (независимой переменной) функции $f(x)$, а переменная $y$ значением функции (зависимой переменной). Областью определения функции $f(x)$ называется множество значений, которые может принимать переменная $x$.