1.6 Вычисление площадей с помощью интеграла

В задачах по экономике иногда для успешного их решения необходимо найти площадь под графиком функции — площадь криволинейной трапеции.

Определение 1
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке $[a;b]$ функции $f$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Первообразная. Другие функции

Найдите множество первообразных функции:

$y=\sqrt{x}$
$y=x^2+\sqrt{x}+1$
$y=\dfrac{7}{x^2}$
$y=\dfrac{2}{(4x-1)^2}$
$y=\dfrac{6}{(5x-7)^3}$
$y=\dfrac{6}{\sqrt{x}}$
$y=\dfrac{5}{\sqrt{2x+7}}$
$y=\dfrac{1}{\sqrt{3x-2}}$
$y=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}$

Первообразная. Многочлены высоких степеней

Найдите множество первообразных функции:

$y=x^2+x^{16}$
$y=4x^3-6x^2$
$y=5x^4-3x^5$
$y=8(11-3x)^5$
$y=12(10-8x)^7$

Первообразная. Линейная и квадратичная функции

Найдите множество первообразных функции:

$y=ax+b$
$y=ax^2+bx+c$

$y=x$
$y=x+2$
$y=2x+3$

$y=x^2+4x$
$y=10x^2+20$
$y=x^2+4x+5$
$y=2x^2+3x-8$

1.5 Первообразная

Понятие первообразной функции

Под дифференцированием функции $f(x)$ мы понимаем нахождение её производной $f'(x)$. Нахождение функции $f(x)$ по заданной её производной $f'(x)$ называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной $f'(x)$ восстанавливают функцию $f(x)$.

1.3 Производная

Некоторые функции могут не иметь производной во всех или в некоторых точках (если, например изменения функции являются резкими, а не гладкими, функция терпит разрыв).

Здесь мы будем говорить о функциях, имеющих производную на всей области определения, гладких, без разрывов и изломов.

Возьмем некоторую непрерывную функцию $f(x)$, определенную на промежутке $(-\infty;\infty)$. 

1.2 Оптимизация функции в целых числах без использования производной

Иногда требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции, область определения которых это не множество всех действительных чисел $\mathbb R$, а множество целых чисел $\mathbb Z$ (или часто в экономике множества целых неотрицательных чисел $\mathbb Z_+$). Например, количество товара, потребляемого покупателем или производимого фирмой, может измеряться только целыми неотрицательными числами.

Теорема о точках экстремума квадратичной функции

Теорема

Функция $f(x)=ax^2+bx+c$ при $a\neq 0$ имеет ровно один экстремум: $x^*=-b/2a$. При этом $x^*$ является точкой максимума при $a<0$ и точкой минимума при $a>0$.

Докажите данную теорему.

1.4 Оптимизация функции, зависящей от двух переменных

Данный прием на олимпиаде необходимо использовать с большой осторожностью, ибо строгое доказательство выходит за рамки школьной математики.

1.1 Оптимизация функции, зависящей от одной переменной, без использования производной

Безусловные экстремумы

Определение 1
Функцией $f(x)=y$ называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$, где каждому значению $x$ из области определения соответствует ровно одно значение $y$. Переменная $x$ называется аргументом (независимой переменной) функции $f(x)$, а переменная $y$ значением функции (зависимой переменной). Областью определения функции $f(x)$ называется множество значений, которые может принимать переменная $x$.