1.5 Первообразная

Под дифференцированием функции $f(x)$ мы понимаем нахождение её производной $f'(x)$. Нахождение функции $f(x)$ по заданной её производной $f'(x)$ называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной $f'(x)$ восстанавливают функцию $f(x)$.

Определение 1
Функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка $F'(x)=f(x)$.

Множество всех первообразных для функции $f(x)$ можно представить в виде $F(x)+C$, где $C \in R$.

Теорема
Если функция $F$ есть первообразная для функции $f$ на промежутке $X$, то при любой постоянной $C$ функция $F(x)+C$ также является первообразной для функции $f$ на промежутке $X$. Любая первообразная функции $f$ на промежутке $X$ может быть записана в виде $F(x)+C$.

Определение 2
Выражение $F(x)+C$ называют общим видом пербообразных для функции $f$.

Пример 1
Функция $F(x)=x^4$ есть первообразная для функции $f(x)=4x^3$ на промежутке $(-\infty;\infty)$, ибо для всех $x \in R$ справедливо равенство $F'(x)=(x^4)'=4x^3$.

Первообразные некоторых функций:

Пример 2
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^2$
$f=x^2$
$f=x^{a}$
$a=2$
$F=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}+C$

Три правила нахождения первообразных

1. Если $F$ есть первообразная для $f$, а $G$ есть первообразная для $g$, то $F+G$ есть первообразная для $f+g$, то есть $(F+G)'=f+g$.
2. Если $F$ есть первообразная для $f$, а $k$ есть постоянная, то $kF$ есть первообразная для $kf$, то есть $(kF)'=kf$.
3. Если $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, а $k$ и $b$ являются постоянными, $k\neq0$, то $\dfrac{1}{k}F(kx+b)$ есть первообразная для функции $f(kx+b)$, то есть $\left(\dfrac{1}{k}F(kx+b)\right)'=f(kx+b)$

Пример 3
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$
Так как для функции $x^3$ одна из первообразных есть $\dfrac{x^4}{4}$, а для функции $\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных является функция $-\dfrac{1}{x}$, то по правилу $1$ находим, что для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}$, а общий вид первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}+C$.