1.4 Оптимизация функции, зависящей от двух переменных

Рассмотрим функцию $F(x;y)=8x+10y-x^2-xy-y^2$

Сперва возьмем частную производную по х:
$F_{х}’=8-2x-y$
Далее возьмем частную производную по у:
$F_{y}’=10-x-2y$
Приравняем оба выражения к 0:

$8-2x-y=0$
$10-x-2y=0$
Таким образом, найдем точки, которые могут быть экстремумами функции.
В данном случае такая точка одна.
$(2;4)$

Теперь необходимо проверить является ли найденная нами точка экстремумом функции, и если да, то каким. Для этого возьмем вторые частные производные:
$F_{xx}’’=-2$
$F_{xy}’’=-1$
$F_{yx}’’=-1$
$F_{yy}’’=-2$

Составим матрицу вторых производных:
\begin{bmatrix} F_{xx}’’ & F_{xy}’’ \\ F_{yx}’’ & F_{yy}’’ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}
Введем обозначения:
\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}
Если $A<0$, $AC-B^2>0$, то экстремум существует, и в данной точке это максимум;
Если $A>0$, $AC-B^2>0$, то экстремум существует, и в данной точке это минимум;
Если $AC-B^2\le0$, то экстремума в данной точке нет.

$-2<0$, следовательно, максимум
$4-1=3$, $3>0$, следовательно, экстремум существует