29.05.2015, 14:48
На сайте с 2014 г. (блог)

Безусловные экстремумы

Определение 1
Функцией $f(x)=y$ называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$, где каждому значению $x$ из области определения соответствует ровно одно значение $y$. Переменная $x$ называется аргументом (независимой переменной) функции $f(x)$, а переменная $y$ значением функции (зависимой переменной). Областью определения функции $f(x)$ называется множество значений, которые может принимать переменная $x$.

Определение 2
Если для любого $x$ из области определения выполнено:

  1. $f(x) \leq f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой глобального максимума функции $f$.
  2. $f(x) \geq f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой глобального минимума функции $f$.

Определение 3
Если в некоторой окрестности точки $x_0 \in R$, целиком содержащейся в области определения функции $f$ при всех $x$ из этой окрестности:

  1. $f(x) \leq f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f$.
  2. $f(x) \geq f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f$.

Точки максимума или минимума называются точками экстремума функции.

Теорема
Функция $f(x)=ax^2+bx+c$ при $a\neq 0$ имеет ровно один экстремум: $x^*=-b/2a$. При этом $x^*$ является точкой максимума при $a<0$ и точкой минимума при $a>0$.

Доказательство данной теоремы

Пример 1

Найти точку экстремума функции $y=x^2-20x+100$
$x^*=\dfrac{-(-20)}{2}=10$
Исходная функция является параболой с ветвями вверх $(a>0)$, следовательно, данная точка есть минимум функции.

Условные экстремумы

Определение 4
Если $x_0$ принадлежит множеству, определяемому некоторыми условиями и для любого $x$ из того же множества выполнено:

  1. $f(x) \leq f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой условного максимума функции $f$.
  2. $f(x) \geq f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой условного минимума функции $f$.

Условный экстремум может как быть, так и не быть безусловным (то же можно сказать и в обратную сторону). Например, при максимизации функции на некотором отрезке решение может лежать как внутри этого отрезка (и тогда искомая точка должна быть локальным максимумом), так и на его концах (и тогда локальный максимум необязателен).

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=x^2+4x$ на отрезке [-3;4]

$x^*=\dfrac{-4}{2}=-2$
Данная точка принадлежит указанному промежутку и является точкой безусловного экстремума (минимума) (исходная функция есть парабола с ветвями вверх).

Так как у квадратичной функции есть только одна точка безусловного экстремума (которую мы уже нашли), наибольшее значение будет лежать на одном из концов отрезка $[-3;4]$

$y(-3)=-3$
$y(4)=32$

$32$ есть наибольшее значение функции на данном промежутке

Источники информации: материалы ЛЭШ 2014