Антимонопольная политика

а) Рассмотрим монополиста, который думает, что он является совершенным конкурентом. Найдём его функцию предложения. Такой монополист будет решать задачу:
$$
\pi(q)=pq-\dfrac{q^2}{4}\to \underset{q\ge 0}{\max}
$$
Графиком функции $\pi(q)$ является парабола с ветвями вниз, вершина находится в точке $q=2p$. Таким образом, $q_s(p)=2p$ — это предложение фирмы (воспринимающей цену как заданную), которое будет являться одновременно и рыночным предложением, так как на рынке присутствует одна фирма. Функция предложения в условиях конкуренции имеет вид $q_s(p)=2p$, спрос равен $q_d(p)=30-p$. Приравняв спрос и предложение, получим $p_c=10$, $q_c=20$. Отметим, что из всех цен, при которых монополист не попадает под штраф, оптимальной может быть лишь конкурентная цена $p_c=10$. При этой цене монополист производит $q_c=20$ и получает прибыль $\pi=10\cdot 20-0,25\cdot 20^2=200-100=100$. Когда назначается цена выше конкурентной, прибыль монополиста и его задачу можно записать так:
$$\pi(p)=pq_d (p)-TC(q_d(p))-t(p-p_c )\to \underset{p\ge p_c}{\max}$$
\begin{multline*}
\pi(p)=p(30-p)-\dfrac{(30-p)^2}{4}-t(p-10)=30p-p^2-\dfrac{(900-60p+p^2)}{4}-tp+10t=\\=
30p-p^2-225+15p-\dfrac{p^2}{4}-tp+10t=(45-t)p-\dfrac{5}{4} p^2-225+10t\to \underset{p\ge 10}{\max}
\end{multline*}
Графиком функции $\pi(p)$ является парабола с ветвями вниз, ее вершина расположена в точке $$p=18-\dfrac25t.$$
При некоторых $t$ монополист будет работать на неэластичном участке спроса, ничего удивительного нет. Область определения $p\ge p_c$, поэтому найденная оптимальная цена должна быть не ниже конкурентной:
$$p=18-\dfrac25t\ge p_c=10 \Longleftrightarrow 18-\dfrac25t\ge10 \Longleftrightarrow \dfrac25t\le18-10=8 \Longleftrightarrow t\le 8\cdot\dfrac52=20$$
Таким образом, найденная оптимальная цена будет назначаться только когда $t\le20$, а когда $t\ge20$, будет назначаться конкурентная цена $p_c$. Чтобы монополист выбрал такие же цену/количество, какие сложились бы в условиях конкуренции, нужно установить любое $t\ge20$.

б) Превышение монопольной цены над конкурентной будет равно
$$p-p_c=18-\dfrac25 t-10=8-\dfrac25 t$$
Собранная сумма штрафа составит
$$T(t)=t(p-p_c)=t\left(8-\dfrac25 t\right)=8t-\dfrac25t^2\to \underset{t\ge 0}{\max}$$
Графиком функции $T(t)$ является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный штраф находится в вершине параболы и равен $t=10$.