Денежная эмиссия и реакция профсоюза

$\textbf{Примечание.}$ Возможны и другие способы нахождения критической точки и проверки на максимум. Так, можно заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз относительно $\sqrt{L}$, воспользоваться условием $MRP_L=w$, а также найти знак второй производной и убедиться, что он отрицательный.

Подставляя спрос на труд в производственную функцию, получаем уравнение AS: \[Y=128\frac{P}{w}.\]

Воспользовавшись уравнением количественной теории денег с учетом $V=1$, получим кривую совокупного спроса: \[Y=\frac{M}{P}.\]

Найдем равновесие на товарном рынке, приравняв AD и AS: \[128\frac{P}{w} = \frac{M}{P},\] откуда равновесный уровень цен \[P=\frac{\sqrt{w\cdot M}}{8\sqrt{2}}.\]

Из условия следует, что после вмешательства $w=2\cdot(1+m)^\alpha$, а $M=100+100m$. С учетом этого можно уточнить целевую функцию государства:
\[
\frac{\Delta M}{P_1}=\frac{100m}{\sqrt{w\cdot M}/(8\sqrt{2})}= \frac{100m\cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2\cdot(1+m)^\alpha\cdot (100+100m)}}=\frac{80m}{(1+m)^{(\alpha+1)/2}}.
\]
Производная этого выражения по $m$ равна
\[
\left(\frac{\Delta M}{P_1}\right)'=\frac{80\cdot (1+m)^{(\alpha+1)/2} - \frac{\alpha+1}{2}(1+m)^{(\alpha-1)/2} \cdot 80m }{(1+m)^{\alpha+1}}.
\]
Знаменатель этой дроби положительный, так что он не будет влиять на знак производной, то же можно сказать и про множитель 80 в числителе. После упрощения получаем, что производная равна нулю при
\[
(1+m)^{(\alpha-1)/2} \left(1+\frac{1-\alpha}{2}m \right)=0.
\]
Первый множитель всюду положителен, так что он не будут влиять на знак производной. Поэтому производная равна нулю в точке \[m^\star = \frac{2}{\alpha-1},\] в которой она меняет знак с положительного на отрицательный (в силу $\alpha>1$). Таким образом, мы имеем максимум.

Видно, что оптимальное для государства увеличение денежной массы убывает по $\alpha$. Почему это происходит? Чем больше сила профсоюза, тем сильнее растет номинальная зарплата, а значит, сильнее растут издержки фирм и сокращается совокупное предложение при том же уровне $m$. А значит, чем больше $\alpha$, тем сильнее при увеличении денежной массы будут расти цены. Учитывая этот эффект, государству не следует сильно повышать денежную массу, если $\alpha$ велико, поскольку оно максимизирует эмиссию в реальном выражении $\Delta M/P_1$.