Можно решить без знания производной

Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих часов $h \geq 0$. Почасовая ставка заработной платы Василия составляет $w$ рублей. Чем дольше рабочий день, тем сильнее устаёт таксист, поэтому издержки на работу в течение $h$ часов для него составляют $2h^2$. Выходя на работу, Василий рассчитывает заработать за день сумму $1600$ рублей, которая является для него точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет

Фирма «Карамелька» является монополистом на рынке конфет. Спрос на конфеты предъявляют $20$ потребителей. Покупка $q$ кг конфет по цене $P$ приносит каждому потребителю удовольствие в размере $U = 10q - P^2q^2$. Потребитель максимизирует удовольствие. Если потребителю безразлично, покупать или нет, он предпочтёт купить товар. Издержки монополиста составляют $TC = 5Q + 1$. Какую цену на свою продукцию должна установить «Карамелька»? Какое количество она произведёт?

Маленькое, но гордое государство Замунда в основном специализируется на выращивании манговых деревьев, поскольку всё население страны обожает манго. Спрос на манго в Замунде имеет вид $Q_{d} = 200 - P$, где $Q_{d}$ $-$ величина спроса на манго в тоннах, $P$ $-$ цена манго в дундуках (валюта в Замунде). Предложение местных фермеров задаётся функцией $Q_{s} = 2P - 10$, где $Q_{s}$ $-$ величина предложения манго в тоннах, $P$ $-$ цена манго в дундуках. Замунда также может торговать с внешним миром на мировом рынке манго, где цена за $1$ тонну составляет $6$ долларов.

На рынке обслуживания автомобилей в Цветочном городе конкурируют два механика: Винтик и Шпунтик. Ежемесячный спрос на услуги механиков описывается функцией $Q_{d} = 100 - 2P$. Функция издержек Винтика $TC = \frac{Q^2}{10}$, и он выбирает, принимать в месяц $50$ или $60$ заказов. Мастерская Шпунтика обладает более скромными возможностями: при функции издержек $TC = 2Q$, он выбирает между объемами $20$ или $40$ заказов в месяц.

Центральный банк готовится принять очередное решение по ставке процента. Ставка процента определяется согласно правилу Тейлора: $i_{t} = 2(\pi_{t} - 0,5) + 4(x_{t} - 0)$, где $\pi_{t}$ $-$ инфляция в процентах, $x_{t}$ $-$ разрыв ВВП в процентах (отклонение фактического ВВР от потенциального), $i_{t}$ $-$ ставка процента. Центральный банк принимает решение, минимизируя свою функцию потерь: $L = (\pi_{t} - 1)^2 + x_{t}^2$. При этом ЦБ учитывает кривую Филлипса при принятии решения, которая выглядит следующим образом: $x_{t} = 2 - 2\pi_{t}$.

Монополист с функцией издержек $TC = 20Q + 100$ работает на рынке с двумя группами потребителей. Группы неразличимы между собой: продавец устанавливает единую цену на свою продукцию. Функция спроса первой группы: $Q_{1}^d = 80 - 2P$, второй $Q_{2}^d = 150 - 3P$.

Вопрос 1 (7 баллов). Какую цену назначит монополист?
Вопрос 2 (2 балла). Сколько единиц продукции приобретёт первая группа?
Вопрос 3 (2 балла). Сколько единиц продукции приобретёт вторая группа?

Жители планеты Вулкан любят сыр, спрос на него на Вулкане описывается функцией $Q_{d} = 1300 - p$. При этом на самом Вулкане сыр производить сложно, потому что там жарко. Предложение сыра на Вулкане имеет вид $Q_{s} = -200 + 2p$. К счастью, в Объединённой федерации планет разрешена свободная торговля сыром, и на международном рынке можно купить или продать сколько угодно товара по цене $300$. Участие Вулкана в международном рынке не изменит цену.

Кондитерская «Пекарёк» выпускает самые вкусные слоёные пирожки в городе, поэтому считается своего рода десертным монополистом. Местные жители просто обожают начинать день со слоёного пирожка, но вечером деликатес пользуется заметно меньшей популярностью. Так, спрос на продукцию «Пекарька» во второй половине дня описывается зависимостью $Q = 240 - 2P$ , а в первой половине дня при любом значении цены жители готовы купить на $30\%$ слоёных пирожков больше, чем во второй.

В стране Нильфгаард оружие покупают две непересекающиеся группы потребителей: рыцари и лорды. Спрос каждого рыцаря описывается функцией $q_1 = 6 - 2p$ . Всего рыцарей в стране насчитывается $25$ человек.

Вопрос 1 (2 балла). Выберите функцию суммарного спроса всех рыцарей.

Пусть депозит в банке страны $X$ приносит $i_{X} =10 %$ в год, а депозит в стране $Y$ приносит $i_{Y} %$ в год (начисление происходит раз в год в обеих странах). В первом году единица валюты $X$ стоила $33$ единицы валюты $Y$, а во втором году валюта $X$ укрепилась и стала стоить $45$ единиц валюты $Y$.