микроэкономика

Степан Буквальный максимизирует полезность $U(x_1, x_2)$, тратя свой доход $I$ на два товара, которые он покупает по ценам $p_1$ и $p_2$.

Спрос на первый товар задаётся функцией
$x_1(p_1, p_2, I) = \frac{p_2 \cdot I^a + c}{p_1 \cdot p_2 + p_1^b}$,
где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа. Оказывается, можно найти эти числа, располагая только приведённой выше информацией. Найдите их.

Вас пригласили в качестве эксперта на межрегиональный конгресс монополистов, проходящий в городе Васюки. На конгрессе обсуждались актуальные вопросы ухода от налогов, пробелы в антимонопольном законодательстве, перспективы ценовой дискриминации и прочее. Вдруг с места поднялся монополист-паникёр и попросил предоставить ему слово и проектор для показа слайдов.

В производстве некоторого товара используется четыре фактора. Зависимость объёма производства от использованного количества этих факторов задаётся функцией $f(x_1, x_2, x_3, x_4)=x_1\cdot x_2+3x_3+4x_4$. Первые два фактора фирма покупает по рублю за единицу, третий – по три рубля, четвёртый – по четыре.
Найдите функцию издержек. (Напомню, она показывает, какую минимальную сумму денег необходимо потратить, чтобы произвести q единиц товара.)

Эта задача состоит из двух частей.

I. Решая задачу про деловые циклы, ученик 10-го класса Гена Эндогенный обратился за помощью к учебнику Матвеевой. Он почерпнул для себя много полезных сведений, однако его смутило место, где среди "неценовых факторов изменения совокупного спроса" приводится следующий:

Функция полезности Васи Линейного имеет вид $U(x_1,x_2)=\frac abx_1-\frac{x_1^2}{2b}+x_2$, где $x_1$ и $x_2$ – количества потребляемых благ; $a$ и $b$ – некоторые положительные константы. Доход равен $I$, цены — $p_1$ и $p_2$.
а) Пусть цены зафиксированы, а доход меняется. Постройте график зависимости потребления первого товара от дохода.
б) Найдите спрос Васи на первый товар как функцию цен и дохода.

Казалось бы, только ленивый не научился находить оптимальный выпуск, когда даны графики MR и MC, как бы замысловато они ни выглядели. Ведь мы сталкивались с этим не раз: то у нас MC напоминает горный пейзаж, то MR мы собираем с внутреннего и внешнего рынков сразу. Но жизнь преподносит новые сюрпризы и загадки.