Функция полезности Васи Линейного имеет вид $U(x_1,x_2)=\frac abx_1-\frac{x_1^2}{2b}+x_2$, где $x_1$ и $x_2$ – количества потребляемых благ; $a$ и $b$ – некоторые положительные константы. Доход равен $I$, цены – $p_1$ и $p_2$.
а) Пусть цены зафиксированы, а доход меняется. Постройте график зависимости потребления первого товара от дохода.
б) Найдите спрос Васи на первый товар как функцию цен и дохода.

Комментарии

а)У меня вышло, что если $\frac{a}{b}\le\frac{P_1}{P_2}$ Т.е. кривые безразличия в точке нулевого потребления блага $х_1$ более пологие чем бюджетное ограничение, то $х_1 = 0$, весь доход тратим на $х_2$. Напоминает случай из задачи про Петрова
Если $\frac{a}{b}>\frac{P_1}{P_2}$,
то, пока $x_1P_1\le I$
$x_1= a-b\frac{p_1}{p_2}$ т.е. по сути это константа,удовлетворяет условию максимизации полезности.
Ну а после, так как доход ограничен, $x_1=I/P_1$, соответственно весь доход идет на потребление блага $x_1$
Сейчас график выложу...
Только вроде наоборот: в первом случае $ \frac{a}{b}\le\frac{P_1}{P_2} $, а во втором - $ \frac{a}{b}>\frac{P_1}{P_2} $
Да, действительно перепутал! Спасибо - исправил)
График в первом случае - понятно, потребление нулевое, во втором - выглядит следующим образомyeld.png
Ага, верно. (Только зависимость x(I) обычно все-таки в "математических" координатах, а не в "экономических", т.е. ось аргумента все-таки делают горизонтальной).
Ага, всё-таки привычнее, когда аргумент (независимая переменная) по горизонтали. Спрос рисуют в перевёрнутых координатах, чтобы на том же графике удобно было нарисовать MR и MC: они-то зависят от Q. Или так можно сказать: когда нам известна функция издержек, то для максимизации прибыли нам нужна не прямая, а обратная функция спроса, вот её мы и рисуем так, что по горизонтали откладываем её аргумент, то есть Q.
Ок, буду знать)
Насчет спроса, не совсем понял, что должно получиться, может что-то вроде этого:
Если $\frac{a}{b}>\frac{P_1}{P_2}$, то
$Q_x^1=\begin{cases}a-b\frac{p_1}{p_2},\quad x_1P_1\le I\\I/P_1, \quad x_1P_1>I\end{cases}$

P.S. Подскажите пожалуйста наиболее удобный способ в $\LaTeX$ задавать кусочную ф-цию.

Не считая корявых обозначений, всё верно:) Я с трудом понял, что ты имел в виду: твой так называемый $x_1$ - это точка насыщения по $x_1$, равная $a-b\frac{P_1}{P_2}$.
Проблема в том, что обозначение $x_1$ уже занято - это переменная, потребляемое количество первого товара. Поэтому лучше обозначить точку насыщения как-то по-другому, а можно и никак не обозначать, чтобы не плодить лишних обозначений.
$$ x_1(P_1,P_2,I)=\begin{cases}a-b\frac{P_1}{P_2},\quad если \ (a-b\frac{P_1}{P_2})P_1\le I\\I/P_1, \quad иначе\end{cases} $$
Про кусочную функцию в техе. Твой способ, по-моему, самый удобный (см. Воронцов К. В. LaTeX2e в примерах, пример 87, а также раздел 3.11), только в тех местах, где надо делать выравнивание, надо добавить амперсанд (символ &), и тогда и дополнительные пробелы не нужны:
x_1(P_1,P_2,I)=\begin{cases}a-b\frac{P_1}{P_2}, &если \ (a-b\frac{P_1}{P_2})P_1\le I\\I/P_1, &иначе\end{cases}
Проблема в том, что на данный момент сайт преобразовывает амперсанд в html-ный код, что вылезает в теховской картинке, несмотря на то, что выравнивание происходит:
$$x_1(P_1,P_2,I)=\begin{cases}a-b\frac{P_1}{P_2}, &если \ (a-b\frac{P_1}{P_2})P_1\le I\\I/P_1, &иначе\end{cases}$$
Сейчас напишу об этом Данилу в блог.
И то и то понятно, спасибо так сказать за заботу)А насчет корявых обозначений - это да, без этого у меня редко обходится.
$$x_1(P_1,P_2,I)=\begin{cases}0, если \ a-b\frac{P_1}{P_2}<0\\ a-b\frac{P_1}{P_2}, если \ 0\le a-b\frac{P_1}{P_2}\le I/P_1\\I/P_1,\ иначе\end{cases}$$