На некоторой планете, где повсюду царят гармония и единство, есть два королевства, которые так и называются - Гармония и Единство.Известно, что число жителей в обоих королевствах одинаковое, а произведение среднедушевых доходов этих королевств равняется единице.
Также есть некоторая информация о доходах в обоих королевствах:
Доход первого жителя Единства равен $S_1$, второго - $S_2$ и так далее, доход $n$-ого жителя - $S_n$.
Соответственно доход первого жителя Гармонии равен $\frac{1}{S_1}$, второго - $\frac{1}{S_2}$, так далее, доход $n$-ого жителя - $\frac{1}{S_n}$.
Спустя некоторое время королевства решили объединиться, а когда это произошло, выяснилось, что $G=0,4$. Правительство обьединённого королевства решило, что это-непозволительно большой показатель и, с целью его сокращения, решило ввести аккордный налог с каждого жителя, обладающего доходом больше 2.
После осуществления такой политики, король заявил, что коэффициент Джинни удалось снизить на $37,5\%$
Найдите величину аккордного налога.
Также есть некоторая информация о доходах в обоих королевствах:
Доход первого жителя Единства равен $S_1$, второго - $S_2$ и так далее, доход $n$-ого жителя - $S_n$.
Соответственно доход первого жителя Гармонии равен $\frac{1}{S_1}$, второго - $\frac{1}{S_2}$, так далее, доход $n$-ого жителя - $\frac{1}{S_n}$.
Спустя некоторое время королевства решили объединиться, а когда это произошло, выяснилось, что $G=0,4$. Правительство обьединённого королевства решило, что это-непозволительно большой показатель и, с целью его сокращения, решило ввести аккордный налог с каждого жителя, обладающего доходом больше 2.
После осуществления такой политики, король заявил, что коэффициент Джинни удалось снизить на $37,5\%$
Найдите величину аккордного налога.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
В решении не так уж много вычислений.Почитай условие внимательно, там есть за что зацепиться ;)
Update: Только что было написано 2/3, теперь написано 2=)
Да, действительно ответ 2. Интересно было бы взглянуть на решение.
"Известно, что число жителей в обоих королевствах одинаковое, а произведение среднедушевых доходов этих королевств равняется единице",расшифровав эту вразу, и знаю одно замечательно свойство эта задача решается мигом.
S1-доход жителя Единства Сумма их доходов S1+S2+..+Sn а их среднедушевой (S1+S2+..+Sn)/n
1/S1-доход жителя Гармонии сумма доходов 1/S1+1/S2+..+1/Sn а среднедушевое (1/S1+1/S2+..+1/Sn)/n .
Дано,что (S1+S2+..+Sn)/n *(1/S1+1/S2+..+1/Sn)/n =1.можно заметить,что это тоже самое.что и
(S1+S2+..+Sn)/n=n/(1/S1+1/S2+..+1/Sn) левая часть всем известная среднее арифметическое,а правая среднее гармоническое так вот они равны только в том случае,если S1=S2=Sn.
таким образом доход всех жителей Единства равен n*S ,а доход всех жителей гармонии n/S .Они объединились, значит образовались две группы (Жители единства и жители Гармонии) их общая сумма доходов n(S^2+1)/S доля доходов Единства S^2/(S^2+1) доля доходов Гармонии 1/(S^2+1). Посчитав коэффициент G получим G=(2-2S^2)/(4S^2+4) = 0.4 отсюда S=1/3 ,а 1/S=3 .Ввели налог на жителей чей доход больше 2.=> доходы стали 1/3 и 3-t их сумма 10-3t/3 доля Единстава 1/10-3t доля Гармонии 9-3t/10-3t . Посчитав G=8-3t/20-6t так как G уменьшился на 37,5% =>G=0.25 отсюда t=2.
пусть доход S меньше единицы, тогда королевство А "богаче", королевство Б "беднее", заметим что исход в задаче не зависит от того какая группа богаче так как если S заменить на $\frac{1}{М}$, условие не изменится(только названия местами поменяются)
Конечно ответ и ход решения у тебя абсолютно верны, но, лично мне кажется, что, рас в задаче о чем-то не сказано, а мы это используем - это нужно как-то обосновать.
Сурен,посчитаю за тебя, для наглядности :
Из условия следует, ордината точки излома кривой Лоренца - $1/10$
если $x<1$, то Единство беднее, ордината точки излома кривой Лоренца задается уравнением$\frac{nx}{nx+\frac{n}{x}}$
$\frac{nx}{nx+\frac{n}{x}}=1/10$
$x=\frac{1}{3}$
если $x>1$,то Гармония беднее, ордината точки излома кривой Лоренца задается уравнением
$\frac{\frac{n}{x}}{nx+\frac{n}{x}}$
$\frac{\frac{n}{x}}{nx+\frac{n}{x}}=1/10$
$x=3$.
если $S$ заменить на $\frac{1}{M}$, условие не изменится
Поэтому, если при некотором доходе выполняется условие задачи, то и при обратной величине дохода оно всегда выполняется.
И "Гармония" - достаточно удачное название. Я как это слово увидел, вкупе с обратными величинами, так сразу понял, что надо пытаться применять.
Задача ведь опирается на неравенство о средних - т.е. "середины (не)будет"
По крайней мере для меня логика ясна)
До введения налога доходы были 1/3 и 3
После введения налога доходы должны отличаться в три раза, чтобы коэф Джини стал равен 0.25
Этого можно добиться двумя способами
Снизив доход с 3 до 1, тогда налог равен 2
Или снизив доход с 3 до 1/9, тогда налог равен 26/9