Неравенство доходов в Округе

а) По определению кривой Лоренца, доля дохода, которой обладают 60% беднейших – это $y(0,6) = 1 - \sqrt {1 - {{0,6}^2}} = 0,2.$
Доля дохода, которой обладают 20% богатейших – это единица минус доля дохода, которой обладают 80% беднейших, то есть $1 - y(0,8) = 1 - \left( {1 - \sqrt {1 - {{0,8}^2}} } \right) = 0,6.$
Таким образом, в нашем округе 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода. Интуитивно кажется, что такая диспропорция означает довольно высокую степень неравенства в обществе. Какую же оценку неравенству даст коэффициент Джини?

б) Построим на одном графике кривую Лоренца нашего округа и прямую абсолютного равенства. По определению, искомый коэффициент Джини представляет собой отношение $G = \frac{{{S_2}}}{{{S_2} + {S_3}}} = 2{S_2}$ (см. рис.):

Теперь нам осталось найти $S_2$ .
Преобразуем уравнение кривой Лоренца:
$y = 1 - \sqrt {1 - {x^2}}$
$1 - y = \sqrt {1 - {x^2}}$
${(y - 1)^2} + {x^2} = 1$
Как видим, в данном Округе кривая Лоренца представляет собой не что иное, как участок окружности с центром точке (0;1) и радиусом, равным 1.
Значит, сумма площадей $S_1$ и $S_2$ равна площади четверти соответствующего круга, то есть
$${S_1} + {S_2} = \frac{1}{4}\pi \cdot {1^2} = \frac{\pi }{4}.$$
Учитывая то, что ${S_1} = \frac{1}{2}$, получаем ${S_2} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}$, и значит, $G = 2{S_2} = \frac{\pi }{2} - 1 \approx 0,57.$

Таким образом, степень неравенства в данном обществе действительно достаточно высока.