В производстве некоторого товара используется четыре фактора. Зависимость объёма производства от использованного количества этих факторов задаётся функцией $f(x_1, x_2, x_3, x_4)=x_1\cdot x_2+3x_3+4x_4$. Первые два фактора фирма покупает по рублю за единицу, третий – по три, четвёртый – по четыре.
Найдите функцию издержек. (Напомню, она показывает, какую минимальную сумму денег необходимо потратить, чтобы произвести q единиц товара.)

Комментарии

Количество факторов - бесконечно делимое число, я верно понял?
Количество факторов равно четырем, и я даже не знаю, является ли число 4 бесконечно делимым)

А сами факторы в данном случае считаются бесконечно делимыми, это да.

Не уверен,что это верно,но может так))

Если Q можно представить ввиде Q=3k+4b , где k и b целые, неотрицательные числа, то TC=Q
Если же этого сделать нельзя,то TC=Q+1 ???

Количества факторов производства (а значит, и выпуск) могут выражаться любым неотрицательным действительным числом, не только целым (это и подразумевается под бесконечной делимостью). Ответ не такой, подумай еще.
Точно,не заметил.(
А у меня получилось $TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt{Q} \quad при \quad Q>4\end{cases}$
У меня также получилось. Просто при Q<=4 мы заупаем только f4, а дальше f1 и f2 в равных количествах ?!
Решение позже напишу, во-первых нам всё равно $f_4$ или $f_3$ закупать, на рубль расходов они приносят по единице продукции, их мне кажется вообще можно "агрегировать" до некоторой f5 ,которая стоит единицу и приносит единицу продукции. А насчет $f_1$ и $f_2$ - пусть $f_1+f_2=i$ максимизируй тогда $f_1*f_2$ получишь что они должны быть равны, еще можно наверное через нер-во о среднем геометрическом и среднем арифметическом доказать, но сходу в голову не приходит.
То, что если при неком Q мы тратим только на f1 и f2, очевидно, что кол-во факторов должно быть равно (через производную). А то, что не перебором доказать, что при Q>4 выгодно покупать только f1 и f2, не купим ни единицы из f3 и f4, вроде бы, можно доказать через неравенство Коши (это как раз и есть неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим). Я не уверен, нужно ещё пописать формулки умные.. :)
Не уверен насчет доказ-ва через нер-во Коши, нужно подумать.
У меня доказательство свелось к тому что:
если мы хотим произвести $Q$ продукции то затраты будут равны $(Q-n)+2\sqrt{n}$, поясню: $пусть(Q-n)$ - затраты на 4й или 5й(по поводу из агрегации я выше написал) фактор, они принесут нам ровно $Q-n$ продукции,тогда $2\sqrt{n}$ затрат на 1й и 2й факторы принесут нам $n$ продукции, очевидно $(Q-n) + n = Q$
Рассмотрим $Q-n+2\sqrt{n}$ у нас задача минимизировать эту величину,
на промежутке $n\in[0;1]$ функция возрастает $(Q = const)$ возрастает и минимум в точке $n=0$, тогда затраты равны $Q$,
на $n\in[1;\infty)$ функция убывает, тогда минимум при $n^m^a^x$, а $n^m^a^x=Q$, так как $Q-n\ge 0$. Тогда минимум затрат на данном промежутке равен(подставим) - $Q-Q+2\sqrt{Q}$.
"Из двух зол выбирай меньшее"
Ну собственно тогда наши затраты равны $min\{Q;2\sqrt{Q}\}$, надеюсь понятно, что подразумевает такое математическое обозначение.
$TC=min\{Q;2\sqrt{Q}\} \Leftrightarrow TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt(Q)\quad при\quadQ>4\end{cases}$

Думаю должно быть более простое доказательство того что первую группу факторов со второй комбинировать бесполезно, но пока я до него не дошел.

Прекрасно!
А чтобы сразу понять, что "первую группу факторов со второй комбинировать бесполезно", можно рассуждать так.
Каким бы ни был желаемый q, наша задача сводится к минимизации функции $2x_1+x_5$ при ограничении $x_1^2+x_5\ge q$ (произвели не меньше, чем требуется). Заметим сразу, что в оптимуме ограничение сядет на равенство ($x_1^2+x_5=q$): ведь иначе можно чуть уменьшить какой-нибудь из иксов, так что ограничение по-прежнему будет выполняться, но потратим мы меньше денег, а значит, это был вовсе не оптимум.
Для "каждого" q рисуем линию уровня ограничения (множество точек в координатах $x_1,x_5$, таких что $x_1^2+x_5=q$), и ездим по ней линией уровня целевой функции (это прямая с коэффициентом наклона -2): чем ниже – тем лучше. Из картинки сразу видно, что поскольку линия уровня ограничения вогнута вниз, то оптимум будет на краю. А вот на каком – зависит от q.
Будем откладывать $x_1$ по горизонтали. Линия уровня ограничения – перевёрнутая парабола. При маленьких q мы видим только её плоскую верхушку, и минимизация издержек приводит нас в левый верхний угол; при больших q она успевает круто упасть, и минимизируются издержки уже в правом нижнем углу. При q=4, стартовав из точки пересечения с вертикальной осью под наклоном -2, мы как раз упрёмся в точку пересечения с горизонтальной осью.

Тимур, у меня к тебе нескромная просьба. Если есть время, напиши решение этой задачи так, чтобы его можно было поместить в официальное решение: для этого нужно собрать комментарии воедино и написать кое-где чуть подробнее: так, чтобы решение поняли те, кто не смог решить самостоятельно. Просто у меня сейчас убойная сессия в РЭШ, и хоть я и не удерживаюсь от того, чтобы прокомментировать решение или вывесить очередную придуманную задачку, остатки благоразумия не позволяют мне заниматься вещами "избыточными" – писать официальное решение, когда, вроде как, решение уже и так написано в комментариях. В то же время большинству пользователей сайта (тем, чей след фиксирует лишь статистика посещаемости) подробное решение будет очень полезным.

После фразы "сразу понять" идет весьма солидный блок текста)
Кстати,у моего решения есть графическая интерпретация, она чем-то схожа с твоей, по крайней мере вид графиков и их движения схожи, только введение другое.
РЭШ это серьезно, понимаю, попробую оформить на днях поприличней. А собственно математическое решение писать?(На мой взгляд для восприятия оно легче,чем иллюстрация движений графиков)
Да, проще проследить за формулами, чем с непривычки представить, как я "еду" одной кривой по другой. Но если разобраться с этим графическим методом, привыкнуть к этой технике, то можно упростить себе жизнь в будущем. Он достаточно универсален.
А решение пиши какое хочешь, главное, чтобы это тебе удовольствие приносило (ну, при ограничениях правильности и понятности решения) :)
Я вот решение набросал, куда бы мне его подать?
да хоть сюда, я потом сотру
1.
a)
Рассмотрим факторы производства $x_1$ и $x_2$, пусть общие затраты на их покупку равны $N$, тогда,так как цены равны единице : $x_1 + x_2 = N$.Кол-во произведенной продукции равняется $х_1\cdot x_2$, по неравенству Коши $х_1\cdot x_2$ достигает максимума тогда когда $x_1=x_2$.
Таким образом, если мы покупаем некоторое число первого и второго факторов производства, то оптимальной является покупка их в отношении $1/1$.
Тогда, так как оба фактора "абсолютно равноправны", их можно агрегировать до некоторого фактора $x_a$(т.е. $x_1\cdot x_2={x_a}^2$),цена за единицу которого - $2$ рубля
Тогда $f(x_a,x_3,x_4) = {x_a}^2 + x_3+x_4$
б)
Теперь рассмотрим фактор производства $x_3$ : пусть затраты на его покупку равняются $S$, тогда мы сможем купить $\frac{S}{3}$ единиц этого фактора, тогда они принесут нам ровно$\frac{S}{3}\cdot3$ единиц продукции. Таким образом затраты на покупку $x_3$ численно равны количеству произведенной на эти деньги продукции. Ситуация с фактором производства $x_4$ аналогична рассмотренной.
Можно сделать вывод, что затратив рубль на покупку $x_3$ или $x_4$, мы получим ровно единицу продукции от каждого из этих факторов, поэтому два этих фактора можно агрегировать до некоторого нового фактора производства $x_b$, цена единицы которого - $1$ рубль.
Тогда $f(x_a,x_b) = {x_a}^2 + x_b$
2.
Пусть мы хотим произвести $ Q $ продукции и затраты на $x_b$ равны $(Q-n)$, тогда это принесёт нам ровно $ Q-n $ продукции.
С помощью $x_a$ нам нужно произвести еще $n$ продукции, тогда затраты на это будут равняться $2\sqrt(n)$.
В итоге, количество произведенной продукции $= (Q-n) + n = Q $, а затраты $TC(Q)=Q-n+2\sqrt(n)$
Рассмотрим $TC(Q)=Q-n+2\sqrt{n} $, минимизируем данную функцию на двух промежутках:
a)
На промежутке $ n\in[0;1] $ функция возрастает, тогда
минимум достигается в точке $ n=0 $, следовательно затраты равны $TC(Q)=Q-0+2\sqrt{0}=Q $
б)
На $ n\in[1;\infty) $ функция убывает, тогда минимум достигается при $ n^m^a^x $, $ n^m^a^x=Q $, так как $ Q-n\ge 0 $. Таким образом минимум затрат на данном промежутке равен $TC(Q)= Q-Q+2\sqrt{Q}=2\sqrt{Q}$
"Из двух зол выбирай меньшее"
Итого, наши затраты свелись к $TC(Q)= min\{Q;2\sqrt{Q}\} $
$TC=min\{Q;2\sqrt{Q}\} \Leftrightarrow TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt(Q)\quad при\quadQ>4\end{cases}$
Ответ
$TC=min\{Q;2\sqrt{Q}\} \Leftrightarrow TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt(Q)\quad при\quadQ>4\end{cases}$
После этапа агрегирования можно, на мой взгляд, немного упростить решение. Пусть нам надо произвести $Q$. Тогда, если мы будем пользоваться только вторым фактором, то $TC=Q$ (ведь на один потраченный рубль мы имеем прирост продукции в размере 1). Пусть мы используем только первый фактор производства, тогда $(x_a)^2=Q, x_a=\sqrt{Q}$. Так как цена его равна 2, всего потратим $TC=2\sqrt{Q}$. Сравним, когда издержки меньше: до 4 выгодно обходиться первым фактором, после - только вторым. Мы предполагаем, что используем мы только один фактор, а не их комбинацию, так как один из них на рубль приносит постоянное количество продукции (конечно, это не строгое обоснование, но смысл его такой, что раз мы, используя только второй фактор, теряем каждый раз постоянную величину, то мы будем использовать только его до тех пор, пока суммарные потери от использования первого фактора (предельные потери от использования которого уменьшаются) не станут равны потерям, при использовании второго. Ну а там, раз предельные потери все меньше и меньше, сам Бог велел не останавливаться и использовать лишь второй фактор.
Согласен, что так проще, но это скорее на интуитивном уровне легче понять, чем строго объяснить, мне кажется.
Да, тут не поспоришь.