Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ — 2009

Раздел

Баллы

3

Темы

Свойства

Сложность

1
Средняя: 1 (1 оценка)

Автор

17.10.2009, 18:12 (Эльвира Васильева)
03.06.2015, 13:12
На своём участке фермер может вырастить максимально 100 кг яблок, или 200кг груш, или 300 кг слив, причём издержки (затраты) выращивания 1 кг любого вида плодов, выраженные в килограммах любого другого вида плодов, постоянны. Какие из приведённых ниже сочетаний фруктов может произвести фермер?
1)50 кг яблок, 50 кг груш, 75 кг слив;
2)60 кг яблок, 80 кг груш, 5 кг слив;
3)70 кг яблок, 40 кг груш, 25 кг слив;
4)69 кг яблок, 39 кг груш, 24 кг слив;
5)0 кг яблок, 199 кг груш, 1 кг слив.

Комментарии

Попробуйте рассуждать так (разберу только первый пункт):

Фермер может вырастить или 100 яблок, или 200 груш, или 300 слив. Он произвел 50 яблок. Теперь он может произвести либо 50 яблок, либо 100 груш, либо 150 слив (так как альтернативные издержки фиксированы). Но яблоки он уже не будет производить, тогда у нас остается обычное линейное КПВ: Или 100 груш, или 150 слив. Если он произведет 50 груш, то потеряет 75 слив (так как альт. стоимость = 1.5), и его производственных возможностей хватит ровно на производство еще 75 кг слив. Таким образом, фермер полностью использует ресурсы и эта точка лежит на КПВ.

Сам я предполагал этим тестом проверить способность участников к каким-то таким же, менее математическим, (и, кстати, не требующим выведения уравнения КПВ) рассуждениям. Например первый пункт можно решить так:

произведя 75 слив, фермер отказался от 75/3=25 яблок;
произведя 50 груш, он отказался от 50/2=25 яблок;
значит, у него осталось ресурсов на производство 100-25-25=50 яблок, то есть он может как раз произвести комбинацию (50;50;75).

Остальные пункты - аналогично. Еще раз подчеркну, что здесь можно было спокойно обойтись и без выведения КПВ. Да, и надеюсь, никто не стал честно проверять четвертый пункт, после того как он решил третий.

Предлагаю еще два варианта рассуждений,
1.Вообще говоря, при производстве более двух типов благ, мне кажется, удобно говорить о количестве ресурсов. Пусть ресурсов у нас $R$(Удобнее вместо $R$ сразу взять единицу, дальше будет понятно, почему) , тогда
на 1кг яблок уходит $\frac{1}{100}R$ (Так как используя всё, что есть можно произвести 100кг)
груш - $\frac{2}{100}R$
слив = $\frac{1}{300}R$
Тогда возможности производства описываются уравнением
$\frac{Я}{100}R+\frac{Гр}{200}R+\frac{Сл}{300}R \le R$
Сокращаем на R
$\frac{Я}{100}+\frac{Гр}{200}+\frac{Сл}{300} \le 1$
Подставляем сюда данные из условия, если неравенство выполняется, то такой объем пр-ва возможен.
Это способ я нахожу наиболее простым.

Можно рассуждать чуть по-другому, хотя суть одна и та же.
2.Из условия следует, что производство 1кг яблок равносильно производству 2кг груш.
Тогда от трехмерной КПВ можно перейти к линейной,заменив все яблоки на вдвое больше груш.Изначально имеем $Сл=300-3/2Гр$, тогда Кпв будет выглядеть так $Сл=300-\frac{3}{2}(2Я+Гр)$
Если разделить обе части на 300, то получим то, что в итоге вышло в первом способе)

Сам очень люблю твой первый способ, часто решал им задачи на КПВ, просто здесь как-то даже не подумал так решать, больно завернуто (несмотря на ясность и математическую простоту). Хотя есть люди, которым так проще и нагляднее.
Я, конечно, привык к тому, что при постоянных альтернативных издержках КВП линейная (в случае многих товаров, соответственно, задаётся уравнением $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=1$); вроде как по-другому и быть не может. Но всё-таки мне захотелось строго вывести это из условия задачи. Вот что у меня получилось.
Нижеизложенный способ подходит для любого n; чтобы стало лучше видно, что делать при большом n, я добавлю четвёртое благо – апельсины, которых можно произвести 400 кг при максимальном использовании ресурсов.

Итак, "издержки выращивания 1 кг любого вида плодов, выраженные в килограммах любого другого вида плодов, постоянны". Например, $\frac{\Delta я}{\Delta г}=const$. Это значит, что если мы зафиксируем количество остальных фруктов, то, увеличив груши на $\Delta г $, мы "увеличим" яблоки на $\Delta г $, умноженное на эту самую константу (константа будет отрицательная, и мы на самом деле уменьшим, то есть "увеличим" на отрицательное число). Чему равна эта константа? Нужно рассмотреть какие-нибудь две точки, и посчитать отношение дельт между ними. Пусть в первой мы производим только груши, во второй – только яблоки. Тогда $const=\frac{100-0}{0-200}=-\frac 1 2$.
Рассмотрим функцию я(г,с,а), которая показывает максимальное количество яблок в зависимости от производства остальных фруктов. Рассмотрим две точки: в первой мы производим ноль груш, во второй – г груш. Используя найденную константу, составляем уравнение:
$\frac{я(г,с,а)- я(0,с,а)}{г-0}=-\frac 1 2$, или, по-другому:
$ я(г,с,а)= я(0,с,а)- \frac 1 2 г \quad(ур. 1)$ – и это верно при любых г,с,а.
Теперь будем менять не груши, а другие фрукты. Получаем аналогичные соотношения:
$ я(г,с,а)= я(г,0,а)- \frac 1 3 с \quad(ур. 2)$
$ я(г,с,а)= я(г,с,0)- \frac 1 4 а \quad(ур. 3)$
Наша цель – выразить я(г,с,а) через г,с,а. Смотрим на первое уравнение. Нам не хватает знания я(0,с,а). Получим его, подставив во второе уравнение г=0: $ я(0,с,а)= я(0,0,а)- \frac 1 3 с$. Теперь нам не хватает знания я(0,0,а). Получим его, подставив в третье уравнение г=с=0: $ я(0,0,а)= я(0,0,0)- \frac 1 4 а= 100- \frac 1 4 а $. Мы воспользовались здесь тем, что когда мы производим одни только яблоки, их получится 100 кг. Ну всё, подставляем всё по цепочке в уравнение (1):
$ я(г,с,а)= - \frac 1 2 г - \frac 1 3 с - \frac 1 4 а +100$
Итак, граница производственных возможностей задаётся уравнением
$я+\frac{г}{2}+\frac{с}{3}+\frac{а}{4}=100$.

Кстати, из этого решения видно, что достаточно потребовать постоянства нормы замещения между каким-то одним товаром и всеми остальными, а постоянство нормы замещения между любыми другими парами отсюда вытекает (это видно из уравнения границы производственных возможностей).

Гриш, я бы прям в решение добавил. Ценный вывод вышел, мне кажется.
Кстати, раз уж мы так ударились в вывод всяческих КПВ. Если мы производим 0 какого-то блага, то КПВ оставшихся 2-ух линейна. Таким образом, если изобразить это чудо в трехмерной системе координат, то наша поверхность производственных возможностей будет обычной плоскостью (а все возможные комбинации образуют пирамиду). А, как известно из аксиом школьной геометрии, чтобы задать плоскость, нам нужно 3 точки. И они у нас есть:
$aX + bY + cZ +d = 0$ - уравнение плоскости (аналогично с уравнением прямой, но с добавлением новой переменной Z, где Х - яблоки, У - груши, Z - сливы). Если поделить все на d, то мы избавимся от лишнего параметра. Поочередно подставляем точки (100,0,0), (0,200,0) и (0,0,300) получим, что наша КПВ это $Z+1.5Y+3X=300$
Ну а теперь подставляем точки из задачи и смотрим, лежат ли они на КПВ.
Ага, можно и так найти. Опять же, то, что "кпв" - плоскость, ты, получается, тоже постулируешь.
По мне, так все посты тут хороши, поэтому я и написал в решении "см. комментарии".
Ну да, что поделать. Но на олимпиаде нет времени это доказывать, тест все же. =)
Да ну, нарисовать трёхмерную КПВ и проверить на пренадлежность точки КПВ к такому вытянутому элипсу =))
Кстати, Гриша, я правильно понял, что твоё доказательство для 4 продуктов, можно представить в общем виде (если Amax > Bmax > Cmax > Dmax), то D+C/$\frac{Cmax}{Dmax}$+B/$\frac{Bmax}{Dmax}$+A/$\frac{Amax}{Dmax}$=Dmax, где Xmax - максимально возможное количество производства продукта Х при нулевых затратах ресурсов на другие продукты?
И абсолютно так решается задача про то, как какой - то известный экономист делает коктейли из 4 продуктов (регион 2008 года, 1 задача)?
По-моему, проще записать это так: $\frac{a}{a_{max}}+\frac{b}{b_{max}}+\frac{c}{c_{max}}+\frac{d}{d_{max}}=1$. И не важно, кто из максов больше, а кто меньше.
Про эллипс не понял.
Не эллипс, скорее некая такая выпуклая шняга в 3 осях, причём по каждой из 2 осей это будет по КПВ стандартного вида. Я сейчас говорю об общем виде, а не вид линейных КПВ, если КПВ линейны, то это пирамидка)
Задача с регионального этапа 2008-2009
Коктейль из 4-ех продуктов - это все-таки не 4 разных коктейля. Но если строить КПВ, которая показывает, сколько каких ресурсов он может добыть (типа яблоки, груши, сливы, апельсины), то да, очень похоже. Только, все-таки, товар в этой задаче один, так что скорее у нас там будет "одномерное КПВ". но решать ее способом, описанным Тимуром можно, и даже нужно, как мне кажется.

У нас есть ограничение по деньгам (почти что по ресурсам). Всего их I. Pa*A + Pb*B + Pc*C + Pd*D=I. Цены можно найти из условия, так как на все деньги он может купить либо 100 А, либо 200 В и так далее. I у тебя сокращается, а потом для каждого ресурса подставляешь его выражение через сам товар, то есть коктейли. Ну и так далее.

Насчет высказывания Димы по поводу способа с трехмерной КПВ:
Не будем постулировать - докажем, что из условия задачи вытекает, что КПВ - плоскость.
1
Изначально мы имеем, что при нулевом производстве одного из благ КПВ линейно, то есть на границах трехмерной КВП "сечение" состоит из трех отрезков прямых.
2
Теперь заметим,что КПВ должно быть линейно не только при нулевом производстве одного блага, но и при любом другом постоянном производстве этого блага(чтобы это доказать можно сказать:пусть на такое пр-во блага $X$ тратим $N$ ресурсов, $N$-константа в рассматриваемых условиях, значит ресурсы на два других не зависят от $X$, ну и собственно условие "работает на нас" - тогда так как альтернативные издержки...и т.д.)
Значит,пусть производство одного блага фиксировано и равно $X_1$, тогда имеем две точки на границах трехмерной КПВ, пусть это $Z_1$ и $Y_1$,
3
Мы уже доказали что при постоянном объеме пр-ва $X$, КПВ принадлежит прямой, тогда данная прямая задана точками $Z_1$ и $Y_1$, осталось их соединить.
4-5
В силу произвольности выбора $X_1$, вся КПВ состоит из бесконечного числа параллельных отрезков концы которых лежат на отрезках прямых, которые мы рассматривали изначально(синие), следовательно GDP - плоскость.

На рисунке всё гораздо проще:
KPV.gif
"Кстати, из этого решения видно, что достаточно потребовать постоянства нормы замещения между каким-то одним товаром и двумя другими..."

Тимур, АС производства одной единицы какого - то блага выражается всегда выражаются в единицах другого прямой зависимостью, значит каждая КПВ - линейна. Соединив 3 прямых (зная, что максимальное количество каждого товара неизменно), мы получим пирамиду.

А модель с самозаштриховывающейся гранью выглядит супер красиво!

Еще раз позволю себе применить слова Григория: "Опять же, то, что "кпв" - плоскость, ты, получается, тоже постулируешь."
Постулируешь имеется ввиду используешь предпосылку, о которой прямо не сказано в задаче, если я правильно понял Гришу.
Я, как раз - таки, доказываю, просто чуть - чуть короче :)
Во-первых я не понимаю что значит каждая КПВ линейна, и даже если это домыслить, непонятным остается, собственно почему если "АС производства одной единицы какого - то блага выражается всегда выражаются в единицах другого прямой зависимостью" из этого следует что "каждая КПВ линейна" ? Ответом на этот вопрос как рас и будет весомая часть доказательства, на мой взгляд)
Ну я какбы имею ввиду ту идею, что если АС производства одного продукта, выраженная в количестве другого продукта постоянна, то эта кпв для данных двух благ линейна. Так будет для каждого всевозможного сочетания двух благ в каждой задаче. Далее соединяем три прямых, каждая из которых лежит в координатах (х;у), (у;z) и (x;z) и получаем пирамиду, т.к. точки, показывающие максимальное количество одного товара не съезжают в осях, например, когда мы рассматриваем блага (х;у) и (х;z), т.к. производственные возможности не меняются (мы просто "откидываем" на время одно благо).

Короче говоря, я перевожу вкратце на понятный для себя язык вышеописанное Гришино доказательство =)

Мне кажется, Гриша имел в виду то, что первый же пункт твоего доказательства надо доказывать. Если это так, то остальное доказывается заметно проще.
Прочитал я повнмательнее, то что Григорий изложил, и понял , что я доказывал "масло масляное".Было у меня такое предчувствие.)Ну да ничего.
Супер-мульт!)
А вот и я.
Под словом "постулировать" я имел в виду "утверждать, не доказывая". Вообще, строго говоря, это слово употреблено в переносном смысле, ведь "постулировать" дословно означает "высказывать постулат", а постулат=аксиома (исходное положение некоторой теории, допущение, принимаемое без доказательств). Здесь же то, что квп - плоскость, вообще-то можно доказать, и это не есть аксиома.

Тимур доказывает, что если кпв двух благ при фиксированном объёме третьего линейна (утверждение А), то и кпв трёх благ задаётся линейной функцией (то есть - в трёхмерном пространстве - плоскостью) (утверждение Б). Вроде как доказать утверждение А очень легко, но фишка в том что если таки проделать это, то в похожей манере довольно легко будет доказать и утверждение Б, и поэтому красивая картинка Тимура вроде и не нужна - так я понимаю фразу Тимура о том, что он "доказывал масло масляное".

Но анимированный gif как технологическая инновация - это классно. Например, с его помощью можно рассказывать про максимизацию полезности в терминах кривых безразличия и бюджетных линий ("едем одной кривой по другой"), а ещё очень скоро эта технология понадобится для рисования векторной суммы (http://iloveeconomics.ru/blogs/id3/267).

Насчет масла - я имел в виду, что раз утверждение А надо доказывать,то мое доказательство неполное,т.е. не доказывает все от начала до конца, а раз так то опираясь на истинность утверждения А можно с таким же успехом и на утверждение Б ссылаться как данное, а не доказывать его. А у меня вышло ни туда ни сюда)
Насчет технологического прорыва, создание анимации в фотошопе - дело весьма примитивное, покадровая анимация, на том уровне, на которым она мне доступна, не идет в сравнение с нормальной,флешовой, которая собственно мне недоступна)
ответ: только 1
как я решал я выразил через слив 1 и 2 переменные получилось так
1 слив это для 1 груши это 1.5 сливы для яблок 1 это 3 сливы.
взял за условие то что максимум слив можно произвести только 300
(доказываю тождество
100 яблок=100*3=300 слив
200 груш=200*1.5=300 слив
300 слив=300 слив)
далее с каждым условием
1) 50*3+50*1.5+75=150+75+75=300 значит фермер может произвести эту продукцию
2) 60*3+80*1.5+5=180+120+5=305 значит не может
3) 70*3+40*1.5+25=210+60+25=295 значит фермер может но еще может произвести 5 слив ответ может если нет условия что фермер производит мах продукции и нет застоя
4) 69*3+39*1.5+24=207+58.5+24=289.5 значит фермер может но еще может произвести 10.5 слив ответ может если нет условия что фермер производит мах продукции и нет застоя
5) 0+199*1.5+1=299.5 значит фермер может но еще может произвести 0.5 слив ответ может если нет условия что фермер производит мах продукции и нет застоя
я отвечу 1 а про 3,4,5 точно сказать нельзя во 1 нет условий что он не максимизирует свое производство и нет расходов
во вторых может ли он производить 0.5 слив?
Читаем условие, "Какие из приведённых ниже сочетаний фруктов может произвести фермер?"

Читаем комментарии. Там можно найти больше, чем даже нужно =))
И ещё в Вашем решении нередко упоминается фраза про "нет застоя". Застоя чего? Желчи? Или производства? Просто неоптимальное производство.

Про желчь )))
Гриша, может - значит лежит либо внутри КПВ либо на КПВ.