Четырехмерный коктейль

Для приготовления одной порции коктейля "Неустойчивое равновесие" -- фирменного коктейля бара "Economics" -- требуется 1 единица ингредиента A, 2 единицы ингредиента B, 3 единицы ингредиента C и 4 единицы ингредиента D (названия ингредиентов являются коммерческой тайной и не разглашаются). Однако владелец бара, знаменитый бармен и экономист Сэм Полуэльсон, обладает лишь ограниченными ресурсами для закупки дорогих ингредиентов. Так, на имеющиеся у него денежные средства он может купить либо 100 единиц ингредиента A, либо 200 единиц ингредиента B, либо 300 единиц ингредиента C, либо 400 единиц ингредиента D в день.
Какое максимальное число порций фирменного коктейля сможет приготовить Сэм за день?

Решение и ответ

Экономическое
Найдем экономические издержки производства одной единицы коктейля, выраженные вединицах, скажем, ингредиента A.
Явно мы тратим на производство единицы коктейля одну единицу ингредиента A. Неявно тратим:
- одну единицу A, от которой отказываемся, покупая две необходимые для коктейля единицы B;
- oдну единицу A, от которой отказываемся, покупая три необходимые для коктейля единицы C;
- одну единицу A, от которой отказываемся, покупая четыре необходимые для коктейля единицы D.
Таким образом, экономические издержки производства одной единицы коктейля равны $1+1+1+1=4$ единицы ингредиента A.
Поскольку всего имеется 100 единиц ингредиента A, то максимальное число порций коктейля, которое можно приготовить,
равно $100/4 = 25$ порций.
Математическое
Понятно, что бюджетное ограничение Сэма имеет вид
$pA + (p/2)B + (p/3)C + (p/4)D = 100p$ ,
где $p$ - цена ингредиента A, а $A$ , $B$ , $C$ , $D$ - количества соответствующих ингредиентов.
Также понятно, что количество порций коктейля будет максимально, если Сэм будет тратить все деньги, и если ингредиенты будут закупаться строго в нужной пропорции.
Пусть $Q$ - количество порций коктейля. Тогда пропорции соблюдаются, если $A=Q$ , $B=2Q$ , $C=3Q$ , $D=4Q$ .
Подставляя эти равенства в уравнение бюджетного ограничения, получаем:
$pQ + (p/2) \cdot 2Q + (p/3) \cdot 3Q + (p/4) \cdot 4Q = 100p \Rightarrow Q = 25.$

Ответ:

25.

Мне первым в голову пришло вообще другое решение-логическое
Заметим тот факт,что для покупки любого ингредиента(А,B,C,D) на 1 порцию коктейля нам надо потратить 1/100 всех денег,то-есть на 1 коктейль мы тратим 1/25 всех денег,поэтому всего можем сделать 25 коктейлей

↑

online Алексей Суздальцев, 08.2.2009 в 03:26. (ссылка)

Можно и так)
В Москве на олимпиаде и такие решения были)

mary_me, 08.2.2009 в 17:52. (ссылка)

ух, ну 16 баллов конечно не набрала, но ответ правильный

↑

Данил Фёдоровых, 08.2.2009 в 19:39. (ссылка)

В Москве правильные ответы были почти у всех участников, вот только максимум (10 баллов) очень малая часть из них получила.

Аня, 08.2.2009 в 19:15. (ссылка)

за эту задачу вроде только 10 давалось))

Валерий, 08.2.2009 в 19:44. (ссылка)

ну а например за мое решение сколько можно было получить??

↑

online Алексей Суздальцев, 08.2.2009 в 23:41. (ссылка)

10, но только расписать все надо поподробнее.

Валерий, 09.2.2009 в 00:28. (ссылка)

Супер!ну расписать это не вопрос,наоборот в этом есть весь кайф

Никита Гомаюн, 09.2.2009 в 16:45. (ссылка)

я в последние 5 минут к ней приступил и решил :)

Realistic, 10.2.2009 в 22:09. (ссылка)

Самая легкая задача после монополиста, расписать не было проблемой :)

Анна Новикова, 01.4.2010 в 10:43. (ссылка)

что же надо было сделать, чтобы набрать полные баллы?

Григорий Хацевич, 20.1.2012 в 19:12. (ссылка)

Мне нравится вот такая запись математического решения:
Пусть A,B,C,D - количества соответствующих ингредиентов; Q - количество порций коктейля.
Чтобы соблюдались пропорции, должно быть:
$Q=\frac{A}{1}=\frac{B}{2}=\frac{C}{3}=\frac{D}{4}$
Если I - имеющиеся денежные средства, то, исходя из условия, цена ингредиента A равна $\frac{I}{100}$ , цена B равна $\frac{I}{200}$ и т.д. Составляем бюджетное ограничение:
$\frac{I}{100}A+\frac{I}{200}B+\frac{I}{300}C+\frac{I}{400}D=I$
Сокращаем $I$ и выражаем всё через $Q$ из условий на пропорции:
$\frac{Q}{100}+\frac{2Q}{200}+\frac{3Q}{300}+\frac{4Q}{400}=1,$ откуда $Q=25$ .