Ускорение производства

а) Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.
$$\pi _0(q) = (20 − q/2)q − 10q = 10q − q^2/2.$$
Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0; 8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $q = 10$. (Это значение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно, функция возрастает на допустимом отрезке [0; 8], оптимальный выпуск равен $q_0^* = 8$. При этом максимальная прибыль составит $\pi _0(8) = 80 − 32 = 48$.
Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода ($MR = 20 − q$) и предельных издержек ($MC = 10$). При всех $q \leq 8$ выполнено $MR > MC$, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q^* = 8$. Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q = 10$, но это больше допустимого количества.
б) После внедрения плана А функция издержек примет вид $TC(q) = 0,6 \cdot 10q + Y = 6q + Y$.
Функция прибыли примет вид
$$\pi _1(q) = (20 − q/2)q − (6q + Y) = 14q − q^2/2 − Y.$$
Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0; 8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке $q = 14$. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;8], оптимальный выпуск равен $q_1^* = 8$. При этом максимальная прибыль составит $\pi _1(8) = 112 − 32 − Y = 80 − Y$ .
Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода ($MR = 20 − q$) и предельных издержек ($MC = 6$). При всех $q \leq 8$ выполнено $MR > MC$, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q^* = 8$. Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q = 14$, но это больше допустимого количества.
Для получения этого ответа можно формально не максимизировать новую функцию прибыли. Заметим, что при снижении предельных издержек монополиста его оптимальный выпуск увеличится, так как в силу убывания функции $MR$ ее пересечение с $MC$ будет правее, чем раньше. А значит, фирма по-прежнему будет производить максимально доступное количество товара.
Чтобы узнать максимально допустимое для фирмы значение $Y$ , решим неравенство $80 − Y \geq 48$. Получаем, что за план А фирма будет готова платить не более, чем 32 ден. ед.
в) Функция прибыли не изменится; изменится отрезок, на котором фирма проводит оптимизацию. Теперь фирма будет максимизировать прибыль на отрезке [0; 12]. Заметим, что теперь отрезок содержит вершину параболы $q^* = 10$, найденную в пункте а). Значит, фирма выберет этот объем выпуска. Максимальная прибыль составит $\pi _0(10) − Y = 50 − Y$.
Решая неравенство $50 − Y \geq 48$, получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 2 ден. ед.
г) Теперь изменится и функция прибыли, и отрезок. Фирма будет максимизировать функцию $\pi _1(q) = 14q − q^2/2 − Y$ на отрезке [0; 12]. В пункте б) мы видели, что эта функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке 14. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0; 12], оптимальный выпуск равен 12. Максимальная прибыль составит $\pi _1(12) = 14 \cdot 12 − 12^2/2 − Y = 12\cdot (14 − 6) − Y = 12 \cdot 8 − Y = 96 − Y$.
Решая неравенство $96 − Y \geq 48$, получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 48 ден. ед.