Трудовое законодательство

а) Во время спада функция спроса будет иметь вид $Q = (90 − P )/5 = 18 − P/5$. Обратная функция спроса будет иметь вид $P = 90 − 5Q$. Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема ($L_1$) и спада ($L_2$):
$$\pi (L_1,L_2) = TR_1 + TR_2 − w(L_1)\cdot L_1 − w(L_2)\cdot L_2 = (90 − Q_1)\cdot Q_1 + (90 − 5Q_2)\cdot Q_2 − (3 + L_1/4)\cdot L_1 − (3 + L_2/4)\cdot L_2 =$$
$$= (90 − L_1/2)\cdot L_1/2 + (90 − 5L_2/2)\cdot L_2/2 − (3 + L_1/4)\cdot L_1 − (3 + L_2/4)\cdot L_2 = (42L_1 − L_1^2/2) + (42L_2 − 3L_2^2/2).$$
Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда $L_1^* = \frac{42}{2/2} = 42$, $L_2^* = \frac{42}{2\cdot 3/2} = 14$.
Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий $MRP_L = MC_L$ для каждого периода:
Первый период:
$MR = 90 − 2Q = 90 − L$
$MP_L = 1/2$
$MRP_L =MR\cdot MP_L = (90 − L)\cdot 1/2$
$TC(L) = (3 + L/4)\cdot L$
$MC_L = 3 + L/2$
$MRP_L = MC_L$
$(90 − L)\cdot 1/2 = 3 + L/2$
$L = 42$
Второй период:
$MR = 90 − 10Q = 90 − 5L$
$MP_L = 1/2$
$MRP_L = MR\cdot MP_L = (90 − 5L)\cdot 1/2$
$TC(L) = (3 + L/4)\cdot L$
$MC_L = 3 + L/2$
$MRP_L = MC_L$
$(90 − 5L)\cdot 1/2 = 3 + L/2$
$L = 14$
Функции $MRP_L$ убывают, а $MC_L$ возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.
Еще один способ – взять производную функции прибыли по обеим переменным: $\pi _{L_1}′ = 42 − L_1 = 0$, откуда $L_1^* = 42$; $\pi _{L_1}′ = 42 − 3L_2 = 0$, откуда $L_2^* = 14$. Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная (−1) в период подъема и (−3) в период спада, отрицательна).
Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по $Q$, $P$ или $w$. В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.
б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции $\pi (L_1,L_2)$, которую мы нашли выше, но при ограничении $L_2 \geq 0,5L_1$.
Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка (42, 14) этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума (42, 14), максимум этой функции при ограничении $L_2 \geq 0,5L_1$ достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство. При этом условии
$$\pi(L_1, L_2) = \pi(L_1, 0,5L_1) = 42L_1 − L_1^2/2 + 42L_1/2 − 3(L_1/2)^2/2 = 63L_1 − 7L_1^2/8.$$
Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является $L_1^* = \frac{63}{7/4} = 36$. Тогда $L_2^* = 0,5L_1 = 18$.
Максимум снова можно найти с помощью производной. $\pi ′ = 63 − 7L_1/4 = 0$, откуда $L_1 = 36$. Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная (−7/4) отрицательна).
Также можно было выписать прибыль как функцию от $L_2$.
в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна 42 + 14 = 56, а в пункте б) 36 + 18 = 54 < 56. Таким образом, благосостояние работников упало.