Задача

В олимпиадах

Московская олимпиада (МОШ) — 2018

Раздел

Баллы

20

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет
22.03.2018, 23:21 (Алёна Захарова)
30.06.2018, 22:30


(0)
В некотором городе – условно назовём его Е. – спрос на наркотические вещества определяется как $q_d = 30 − 0,5p$. Предложение наркотиков формируют ровно 100 продавцов, у каждого из которых издержки на изготовление $q$ ед. наркотиков составляют $25q^2$ д.е. Целью проводимой антинаркотической политики является не только снижение объёма потребляемых наркотиков, но ещё и сокращение оборота рынка – выручки продавцов (т.е. расходов потребителей на покупку наркотиков). Считается, что существенную часть средств на покупку наркотиков наркоманы добывают незаконно. Таким образом, существует сильный мультипликативный эффект: при росте числа употребляемых наркотиков растёт и остальная преступность – прежде всего кражи, разбои и грабежи. Состояние уличной преступности влияет на психологический климат в обществе и на отношение населения к органам власти в целом. Поэтому в качестве индикатора эффективности борьбы с наркотиками выступает не только сам торгуемый объём веществ, но и оборот рынка – сколько денег люди в сумме расходуют на покупку наркотиков.

(а) Какой объём веществ будет продан, какая установится цена и сколько составят расходы потребителей на приобретение наркотиков, если бы наркотики были легализованы?

(б) Полиция в городе Е. из года в год обнаруживает и изымает ровно половину от всех произведённых наркотических веществ. Производители заранее знают, что часть изготовленных наркотиков не дойдёт до покупателей – конфискация половины веществ не является для них случайным шоком. Они принимают решение об объёме производства наркотиков, заранее предполагая, что половину произведённой продукции не удастся сбыть и что к продаже для покупателей будет предложена только другая половина. Например, если производитель планирует предложить покупателям 1 ед. наркотиков, то произведёт 2 ед. наркотиков. Какой объём веществ будет продан, какая установится цена и сколько составят расходы потребителей на приобретение наркотиков?

(в) Пресс-секретарь региональной полции сделал заявление: «Мы выявляем и изымаем половину наркотических веществ, иначе расходы горожан на покупку наркотиков были бы ещё больше». Объясните, почему полицейский пресс-секретарь неправ. Тем не менее, существует аргумент в защиту его позиции: в краткосрочной перспективе оборот рынка действительно вырастет, но в долгосрочной – снизится. Как вы думаете, в чём состоит этот аргумент?

(г) При каких значениях доли изымаемых наркотиков обнаружение и изъятие веществ действительно приведёт к снижению расходов на их покупку?

(д) В городе Е. функционирует основанный когда-то гражданином Р. «Фонд борьбы с наркотиками», который борется с наркоманией другим путём: он изолирует на некоторое время тех, кто употребляет наркотические вещества, проводит с ними мероприятия, и эти люди больше не предъявляют спрос на наркотики. Какой процент наркоманов удастся «охватить» Фонду, на столько же процентов снизится спрос на наркотики: например, если Фонд поработает с 20% наркоманов, то городской спрос на наркотики составит $q_d = 0,8(30 − 0,5p)$. Какую долю наркоманов города Е. должен будет реабилитировать Фонд, чтобы скомпенсировать рост расходов на приобретение веществ, вызванный политикой, которая была рассмотрена в пункте (б)?

(е) Если бы в условиях пункта (б) полиция приняла решение бороться не с отдельными партиями веществ, а с продавцами, раз и навсегда убирая их с рынка наркотиков, то сколько продавцов необходимо было бы поймать, чтобы снизился не только объём проданных веществ, но и оборот рынка наркотиков? Считайте, что какое количество продавцов ни осталось бы на рынке в результате такой политики, рынок наркотиков не перестанет быть совершенно конкурентным.

(ж) Допустим, силовики решили сами скупить наркотики, чтобы их меньше досталось наркоманам. Сначала они определяются с тем, сколько наркотиков они хотели бы купить, а потом приобретают это количество вне зависимости от того, какая на рынке сложится цена. В таком случае рыночная величина спроса на наркотики при каждой цене вырастет именно на это количество: например, если полиция захочет купить 5 ед. наркотиков, то спрос на них в городе Е. составит
\begin{equation*}
q_d =
\begin{cases}
35 - 0,5p, & 0 \le p \le 60 \\
5, & p > 60
\end{cases}
\end{equation*}
Сколько наркотиков должны будут выкупить полицейские, чтобы снизить не только объём употребляемых наркоманами веществ, но и расходы наркоманов? В какую сумму (как минимум) обойдётся бюджету такая политика? Сколько наркотиков должны будут выкупить полицейские, чтобы наркоманы не смогли купить ни одной единицы веществ? В какую сумму обойдётся бюджету такая политика?