Феодал и крестьянин

(а) Будем решать задачу с конца. Если ставка t уже установлена, то Крестьянин будет решать задачу $(1-t)(e+Z)-e^2/2 \Rightarrow max$. График целевой функции является параболой с ветвями вниз, и оптимальный уровень усилий находится в вершине этой параболы: e=1-t.
Как и следовало ожидать, чем больше ставка оброка, тем меньше усилий будет прилагать крестьянин.
Феодал может решить ту же задачу за Крестьянина, и потому будет знать, что после назначения ставки t уровень усилий будет лишь 1-t. Он будет назначать t так, чтобы максимизировать величину T=t(e+Z)=t(1-t+Z). График этой функции также является параболой, и Феодал выберет $t=t_e=(1+Z)/2$. Чем лучше природные условия, тем большую ставку оброка будет назначать Феодал. Подставляя теперь эту ставку в формулу для усилий, окончательно получаем усилия как функцию от природных условий: $e=1-(1+Z)/2=(1-Z)/2$.
Чем лучше природные условия, тем меньше усилий будет в итоге прилагать крестьянин: ведь при лучших условиях Феодал назначит большую ставку оброка, и предельные выгоды от усилий снизятся.
Итак, ответ на вопрос пункта: t(Z)=(1+Z)/2, e(Z)=(1-Z)/2.
(б) Подставим t(Z) и e(Z) в целевую функцию Крестьянина:
$(1-t(Z))(e(Z)+Z)-\frac{(e(Z))^2}{2}=1/8(1-Z)(1+3Z)$.
График этой функция также является параболой с ветвями вниз, и ее вершина находится ровно посередине между корнями, то есть в точке $Z=\frac{1+(-1/3)}{2}=1/3$. Поскольку вершина принадлежит отрезку [0;1], то действительно, можно заключить, что данная функция немонотонна по Z на данном отрезке: сначала она возрастает, а затем убывает. Таким образом, неверно, что чем больше Z, тем крестьянину лучше: при Z>1/3 улучшение природных условий будет лишь ухудшать положение Крестьянина, несмотря на то, что Z как таковое входит в его целевую функцию с положительным знаком.
Как объяснить данный парадокс? Дело в том, что рост Z оказывает несколько эффектов на полезность Крестьянина:
1) Его урожай при данном уровне усилий становится больше;
2) Феодал назначает более высокую ставку оброка, что при данном урожае сокращает долю урожая, которая достается Крестьянину.
3) Усилия Крестьянина сокращаются (из-за роста ставки оброка), что уменьшает и сам валовый объем урожая.
Первый эффект увеличивает полезность Крестьянина, а вторые два — уменьшают. От того, какая из сил перевесит, и зависит, будет Крестьянину лучше или хуже при улучшении природных условий.

Модели, похожие на ту, что была рассмотрена в данной задаче, используются для анализа такого известного феномена, как ресурсное проклятье.