Король одного государства решил пополнить казну, обложив налогом рынок логарифмических линеек.
– Знаешь ли, – говорит Король своему новому советнику, Юному Экономисту, – «абсолютные потоварные» налоги мне надоели, хочу ввести налог в процентах от цены. Только вот не знаю, от какой цены: от «новой» или от «старой».

– А что это значит? Мы такого не проходили, – расстроился Юный Экономист.
– Ну смотри. Если я ввожу налог в размере X% от «новой» цены, то это значит, что X% от цены каждой логарифмической линейки, которая продается в нашей стране, идет мне в карман. Если же от «старой», то это значит, что при каждом конкретном количестве продаваемых линеек в мой карман попадает сумма, равная X% того, что получает продавец. По-другому: "старая" цена соответствует некоторому количеству на старой кривой предложения, а "новая" цена соответствует тому же количеству на кривой предложения, измененной с учётом налога - на "новой" кривой предложения. Теперь понятно?
– Понятно. Нам еще что-то рассказывали про «цену покупателя» и «цену продавца»…
– Ну так вот. Налог я введу небольшой, 20%; а от «новой» или от «старой» – как будет выгоднее для казны. Доставай блокнот. Предложение: Qs=12ln(5p/16)+5p+1; спрос: Qd=-12ln(р)+4p+1. Цена – в тугриках, количество – в тысячах линеек. Если цена 2,5 тугрика и выше, спрос отсутствует; впрочем, говорят, таких высоких цен там никогда не бывает. Только ты не торопись сразу считать, а то с ума сойдешь. Тут до тебя был Старый Экономист, так он считал-считал, да и подал в отставку. Говорит, там что-то такое транс… ценс… денс… Ну, в общем, за гранью разумного. Ты лучше сначала поупражняйся на рынке обычных линеек, там предложение и спрос что ни на есть линейные: Qs=20p-108; Qd=100-10p. Проведи расчеты и выясни, в каком случае налоговые поступления будут больше: если продавцов обычных линеек обложить налогом в 20% от «новой» цены или от «старой». Какой способ здесь окажется выгоднее, тот и применим к рынку логарифмических линеек. Мне принесешь отчет: сколько после введения налога будет продано этих линеек и по какой цене; каковы будут налоговые сборы.
* * *
А теперь представьте, что вы – Юный Экономист. Проведя необходимые расчеты, определите способ налогообложения и предоставьте вышеописанный «отчет». 

Комментарии

на олимпиадах не "наказывают", если конечный ответ оставляю в виде логарифмов?
Скорее всего, нет, или совсем чуть-чуть. Но почему бы не досчитать?
не жалую калькуляторы )
из-за них все ошибки :)
Это же, вроде бы, с России какого - то года?
да, 2005-го
Помню, когда-то на олимпиаде ее решал я) Только мое решение было без таких пространных рассуждений)
Сам удивляюсь, как я тогда столько понаписал. Это была моя первая задача, и я её единственную отправил тогда на олимпиаду, так что времени на неё не пожалел:) А сочинил я её идейно в $10$ классе в кабинете немецкого языка:) Эх, были времена... Ладно, кончаю оффтоп.
Скажите пожалуйста, а в случае, если налог будет наложен на потребителей, то в "лобовом" способе нужно будет:
а) в случае если налог от старой цены потребителя, то, выразив Рстар от Qd , поделить выражения на (1+t) , а если от новой , то умножить на (1-t) ? Или наоборот?

А в более общем способе решения данные рассуждения :
"1) Налог берется в размере T% от старой цены, т.е. Pст+t*Pст=Pн, где t=T/100 – ставка налога в долях. Отсюда Pст=Pн/(1+t).
2) Налог берется от новой цены, т.е. Pст+t*Pн=Pн. В этом случае Pст=Pн*(1–t)."
для обложения потребителя принимают вид
1а)если налог от старой цены то Рст - (там был +) t*Рст=Рн
2а)если налог от новой цены то Рст - t*Рн=Рн (то есть вместо + для предложения ,минус для спроса)
(ну а преобразования дальше аналогично, и потом при определении искомой зависимости Qd от Рнов. , мы будем также подставлять Рст, выраженную через Рнов (из шагов 1а и 2а)

Правильно понял? Помогите пожалуйста разобраться

Правильно понял. Старая цена - на старой кривой. Если налог платит потребитель, то кривая спроса сдвигается вниз, поэтому старая цена будет больше новой.
Что касается лобового способа (первая часть вашего сообщения), то, если я вас правильно понял, ответ - "наоборот". Из уравнений во второй части вашего сообщения выразите Pн через Pст, и вы получите то, что надо.

Формула Qн(Pн)=Qст(Pст) и весь этот алгоритм тем и удобен, что он не зависит от конкретной постановки: в неизменном дословном виде его можно применять в четырёх случаях: налогах/субсидиях с продавца/покупателя. Всё что нужно сделать, это нарисовать картинку, понять, какая кривая сдвигается и куда, записать связь между Pст и Pн исходя из конкретной постановки, и подставить в старую формулу, чтобы получить новую.

Значит так, для начала нужно понять, что при налоге не производителя кривая предложения поднимается вверх, то есть при соответствующих Q цена на новой кривой будет больше чем на старой.
Тогда Pнов=Pстар(1+t) или Pнов=Pстар/(1-t). Умножаем на 1+t, которое больше 1, или делим на 1-t, которое меньше 1, тогда Pнов получается больше Pстар.
Да, перечитал первое сообщение и понял, что наоборот :)
Вообще, более общий способ мне кажется более удобен (чем "лобовой", на то он наверно и общий :) Действительно, очень удобно!
Если вам даны обратные функции спроса и предложения, то есть $P(Q)$, причём такие, что $Q(P)$ из них не выразишь, то останется только применять лобовой способ.
а если берется налог с покупателя то есть разница от новой или старой цены его брать? и можно поподробней про общий случай как брать налоги (про него писалось выше)
Можно от новой, можно от старой - два разных налога.
"Общим случаем" почему-то назвали способ получения формул предложения (или спроса), изменённых под влиянием налога, описанный в решении, начиная со слов "Обратимся к рисунку". На самом деле он не более общий, чем второй способ, именуемый лобовым. Просто он удобнее в ряде ситуаций.