Логарифмические линейки и налоги в процентах от цены

В этой задаче проверяется умение находить функции предложения, измененные под влиянием косвенных налогов. В случае с абсолютными потоварными налогами все довольно просто. Если вводится налог в размере T рублей с единицы, то при каждом возможном Q цена покупателя будет на T выше; предложение сдвигается на T единиц вверх, т.е. в направлении оси аргументов. Поэтому новую формулу предложения можно получить, используя элементарные сведения о преобразовании графиков из школьного курса алгебры: подставив в старую формулу (P-T) вместо P, получим новую формулу: Qsн=Qsст(P-T).
Если налог берется в процентах, то ситуация немного усложняется. Самый простой, «лобовой» способ здесь – выразить P через Q и осуществить вполне очевидные преобразования, после чего опять выразить Q через P. Допустим, мы выразили P через Q в первоначальной формуле, т.е. получили выражение для Pст (Pстарой). Если налог берется в размере T% от старой цены, то мы просто умножаем полученное выражение на (1+t), где t=T/100 – ставка налога в долях. Pст=f(Q); (1+t)*Pст=(1+t)*f(Q). Но т.к. (1+t)*Pст=Pн (Pновая) по определению, то мы и получили выражение Pн через Q; остается только выразить Q через Pн, и получим новую функцию предложения.
Если налог берется в размере T% от новой цены, то из очевидного выражения Pст+t*Pн=Pн получаем Pн=Pст/(1-t). Теперь, найдя выражение Pст=f(Q), выполняем действия, аналогичные вышеописанным: Pст/(1-t)=f(Q)/(1-t); Pн=f(Q)/(1-t).
А что делать, если мы не можем получить явного выражения P через Q? Что, если функция предложения чуть посложнее, чем линейная? Выход есть.

Обратимся к рисунку. Здесь Sст – первоначальная функция предложения, Sн – функция предложения после введения налога. Пусть мы знаем явное выражение Qст от Pст, но не можем выразить Pст через Q. Однако, используя данные из условия задачи, мы без труда можем выразить формулой связь между Pст и Pн в каждой точке.
Зафиксируем Q на уровне Q*. В этой точке верно следующее: Qн(Pн)=Qст(Pст)=Q*. Но ведь эта формула верна для любого Q*! Посмотрим теперь на равенство Qн(Pн)=Qст(Pст). В левой части находится то, что нам надо найти – явное выражение Qн через Pн; в правой части – явное выражение Qст через Pст. Поскольку это равенство выполняется в любой точке, нам достаточно подставить выражение Pст через Pн в формулу Qст(Pст), и мы получаем искомое явное выражение для Qн. Возможны два случая:
1) Налог берется в размере T% от старой цены, т.е. Pст+t*Pст=Pн, где t=T/100 – ставка налога в долях. Отсюда Pст=Pн/(1+t).
2) Налог берется от новой цены, т.е. Pст+t*Pн=Pн. В этом случае Pст=Pн*(1-t).
В этой задаче специально введены такие функции спроса и предложения, чтобы нельзя было явно выразить P через Q (здесь мы сталкиваемся с т.н. трансцендентными уравнениями, название которых не смог выговорить наш Король). В этом случае нельзя обойтись только «лобовым методом».
Применим наши рассуждения на практике:
Сначала рассчитаем сумму налоговых поступлений с рынка обычных линеек.
Qsст=20P-108; Qd=100-10P.
1. 20% от Pст. Qsн=20(Pн/(1+0,2))-108=50Pн/3-108. Приравниваем к Qd:
50Pн/3-108=100-10Pн. Отсюда Pн=7,8; Qн=22; Pст=Pн/1,2=6,5. Налоговые поступления: НП1=0,2*6,5*22=28,6.
2. 20% от Pн. Qsн=20(Pн*(1-0,2))-108=16Pн-108. Приравниваем к Qd:
16Pн-108=100-10Pн. Отсюда Pн=8; Qн=20. Налоговые поступления:
НП2=0,2*8*20=32.
НП2>НП1, значит, выполняя приказ Короля, рынок логарифмических линеек нужно облагать налогом от новой цены.
Qsст=12ln(5P/16)+5P+1; Qd=-12ln(P)+4P+1. Найдем новую функцию предложения:
Qsн=12ln(5*Pн*(1-0,2)/16)+5*Pн*(1-0,2)+1=12ln(Pн/4)+4Pн+1. Приравниваем к Qd:
12ln(Pн/4)+4Pн+1=-12ln(Pн)+4Pн+1; ln(Pн/4)+ln(Pн)=0; ln(Pн2/4)=0; Pн2/4=1; Pн=2; Qн=0,682. Налоговые поступления: НП=0,2*2*0,682=0,2728 (тысяч тугриков).