Необычная кривая Лоренца

Исследователь заметил, что кривая Лоренца для некоторой страны ограничивает вместе с биссектрисой первой четверти точно такую же фигуру, на какие разделяет правильный шестиугольник самая длинная диагональ. Найти коэффициент Джини.
В олимпиадах: 
Московская олимпиада школьников — 2012
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

4.2 Фирмы на совершенно конкурентном рынке

На совершенно конкурентном рынке готовность фирм продать какое-то количество товара по какой-то цене описывается функцией предложения ($S$ - supply).

Функция предложения ($P(Q)$) показывает, какое количество товара по какой цене фирма готова продать. Рыночная функция предложения, так же как и рыночная функция спроса, получается путем суммирования индивидуальных функций предложения (функций предложения отдельных фирм).

Про монополию

Средние издержки фирмы-монополиста описываются уравнением: $AC=Q^2-12Q+48$, а средняя выручка: $AR=18-1{,}5Q$. Определите оптимальный объём выпуска и цену, которую фирма-монополист установит на свою продукцию.

4.1 Особенности совершенно конкурентного рынка

На рынке могут складываться специфические условия, оказывающие заметное влияние на деятельность фирм. Главными особенностями совершенно конкурентного рынка являются:

Выведение функции издержек

Найти функцию общих издержек TC(Q), если

  1. $w=2$, $r=1$, производственная функция имеет вид $Q=L+K$
  2. плата за капитал равна зарплате и составляет 1 д.ед, $Q=L+K$
  3. $w=4$, $r=2$, $Q=LK$
  4. $w=1$, $r=5$, $Q=2LK$
  5. $w=2$, $r=1$, $Q=2\sqrt {L} K$

3.6 Производственная функция

Фирма производит свою продукцию, следуя определенной технологии.

Производственная функция показывает налучшую технологическую зависимость между количеством используемых ресурсов и объемом выпуска.

$Q=f(L;K)$

Из производственной функции можно вывести функцию издержек.

Пример 1
Дано: $Q= L \cdot K$, $w=4$, $r=1$, найти функцию общих издержек.

Восстановление различных функций издержек

  1. $AFC=\dfrac{10}{Q}$; $AVC=15$, найдите функцию $TC$
  2. $TC=Q^2+Q+15$, найдите функции $AC$, $AVC$, $AFC$, $MC$
  3. $AC=17$, найдите функции $TC$, $AVC$, $AFC$, $MC$
  4. $AVC=2Q+1$, $FC=5$, найдите функцию $MC$
  5. $MC=5$, $FC=15$, найдите функции $TC$, $AC$, $VC$, $AVC$, $AFC$

3.5 Издержки

Фирмы являются основными поставщиками продукции на рынки. Для производства экономических благ фирмы привлекают необходимые ресурсы и поэтому несут некоторые издержки.

Общие издержки (TC - total cost) - затраты, связанные с использованием всех ресурсов, задействованных в производстве блага.

Восстановление функции спроса

Восстановите функцию спроса, найдите функции общей, средней, предельной выручки (недостающие функции), найдите максимальную выручку, если известно:

  1. $MR=12-6Q$
  2. $MR=\dfrac{40}{\sqrt Q}$
  3. $TR=500$
  4. $TR=10Q-2Q^2$
  5. $AR=\dfrac{100}{\sqrt Q}$