Кот в мешке

Поскольку кривая предложения линейна $\left( Q^{s}(p)=a+bp\right)$ и обладает единичной эластичностью, то
$$\epsilon^{s}_{p}(p)=\dfrac{dQ^{s}(p)p}{dp}\dfrac{p}{Q}=\dfrac{bp}{a+bp}=1,$$
откуда заключаем, что $a=0$.

Так как в равновесии величина совокупного спроса равна величине предложения, то $15+5+q^{d}_{3}(10)=10b,$ откуда $q^{d}_{3}(10)=10(b-2).$ Поскольку функции спроса агентов линейны $\left( q^{d}_{3}(p)=\alpha_{i}-\beta_{i}p \right)$, то наклон в каждой точке постоянен и может быть определен на основе информации об эластичности в заданной точке:

$\epsilon^{d}_{i}=\dfrac{d q^{d}_{i}(p)}{dp}\dfrac{p}{q^{d}_{i}(p)}=-\dfrac{\beta_{i}p}{q^{d}_{i}(p)},$ откуда $\beta_{i}=\dfrac{\epsilon^{d}_{i}\times q^{d}_{i}(p)}{p}.$ Таким образом, находим: $\beta_{1}=\dfrac{2\times15}{10}=3,$ $\beta_{2}=\dfrac{6\times 5}{10}=3,$ $\beta_{3}=\dfrac{1\times q_{3}(10)}{10}=b-2.$

Эластичность рыночного спроса можно представить в виде:
$$\epsilon^{Q}(p)=\left( \dfrac{dq^{d}_{1}(p)}{dp}+\dfrac{dq^{d}_{2}(p)}{dp}+\dfrac{dq^{d}_{3}(p)}{dp} \right) \dfrac{p}{Q^{d}(p)}=-(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3})\dfrac{p}{Q^{d}(p)}$$

Оценивая эластичность при $p=10$ , находим $Q^{d}(10)=-(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3})\dfrac{10}{\epsilon^{Q}(10)}=\dfrac{10}{2}(6+b-2)=5b+20.$
Поскольку в равновесии величина совокупного спроса равна величине предложения, то
$$10b=Q^{S}(10)=Q^{d}(10)=5b+20 \text{ или } b=4.$$
Таким образом, $\beta_{3}=2$ и $q_{3}^{d}(10)=10(b-2)=20.$

Поиск кривой рыночного спроса - 5 баллов.
По углу наклона и точке восстанавливаем уравнение прямой, задающее спрос соответствующей группы:

$\alpha_{i}=q_{i}^{d}(10)+10\beta_{i}$ или $\alpha_{1}=15+10\times 3=45, \alpha_{2}=5+10\times 3=35,\alpha_{3}=20+10\times 2=40.$
Итак, $q_{1}^{d}(p)=45-3p, q_{2}^{d}(p)=35-3p, q_{3}^{d}(p)=40-2p$.

Совокупный (рыночный) спрос примет вид

\[Q^{d}(p)=\begin{cases}
0, &\text{ если }p\gt20 \\
40-2p, &\text{ если }15\lt p\le 20\\
85-5p, &\text{ если }35/3 \lt p\le 15 \\
120-8p, &\text{ если }0\le p\le 35/3
\end{cases}\]

Условие равновесия при введении налога – 2 балла.
Введение налога с продаж со ставкой означает, что $p^{p}=0.5p^{c}.$
Соответственно, кривая предложения имеет вид $Q^{S}\left(p^{p}\right)=4p^{p}=2p^{c}$

Поиск равновесия с налогом – 5 баллов.
Найдем равновесие, проверяя последовательно наличие пересечения новой кривой предложения с кривой спроса на каждом из участков, начиная с последнего.

$120-8p=2p$ при $p=12>35/3,$
$85-5p=2p$ при $p=\dfrac{85}{7}=12\dfrac{1}{7}\in(35/3,15)$

Вычисление налоговых поступлений – 1 балл.

Соответствено налоговые поступления при этом будут равны $0.5p \times Q=0.5p \times 2p=p^{2}=\left( \dfrac{85}{7} \right)^{2}.$