Страна ТУТ

Уравнение КПВ. Поскольку $L_{X}=10\sqrt{Q_{X}}$ и $L_{Y}=Q_{Y}$, а совокупный запас труда в экономике равен 75, то $10\sqrt{Q_{X}}+Q_{Y}=75.$ Таким образом, $Q_{Y}=75-10\sqrt{Q_{X}}.$ Заметим, что полученная функция является убывающей и строго выпуклой.
График – 3 балла.

б) Расчет объемов потребления – 3 балла.
Если население стремится максимизировать количество наборов, включающих по единице каждого товара, то $Q_{X}=Q_{Y}$ и, подставляя в уравнение КПВ, находим $Q_{Y}=75-10\sqrt{Q_{Y}}$. Решим полученное уравнение, обозначив $\sqrt{Q_{Y}=a},$\\
$a^{2}+10a-75=0$, откуда $a=-5+\sqrt{25+75}=5$. Таким образом, $Q_{X}=Q_{Y}=25.$

Иллюстрация на графике – 1 балл.
(в) КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей – 6 баллов.
Поскольку стране ТУТ доступна как ее собственная технология производства, так и альтернативная, то ее множество производственных возможностей будет объединением множеств, полученных при использовании своей и чужой технологии.
При использовании технологии страны ТАМ имеем $0.5Q_{X}+Q_{Y}=75-36=39,$ откуда $Q_{Y}=39-0.5Q_{X}.$\\
Итак, КПВ описывается условием $$ Q_{Y}=max\{39-0.5Q_{X}, 75-10\sqrt{Q_{X}}\}.$$
при $b=(10\pm\sqrt{100-72})=10\pm\sqrt{28}.$ Поскольку $75-10b<0$ при $b>7.5$, то нас интересует лишь $10-\sqrt{28}.$ Итак,
$$
Q_{Y}=max\{39-0.5Q_{X}, 75-10\sqrt{Q_{X}}\}=
\begin{cases}
75-10\sqrt{Q_{X}},&\text{ если } Q_{X}\le (10-\sqrt{28})^{2} \\
39-0.5Q_{X},&\text{ если }(10-\sqrt{28})^{2} \end{cases}\\
$$

(синяя кривая на графике)

График – 3 балла.

Заметим, что $(10-\sqrt{28})^{2}<25<26.$\\
Потребление страны ТУТ – 1 балл.

Находим новую точку потребления как пересечение новой КПВ с прямой $Q_{Y}=Q_{X}.$\\
Итак, $Q_{X}=39-0.5Q_{X},$ откуда $Q_{Y}=Q_{X}=39/1.5=26,$ т.е. потребление каждого товара возрастает на единицу.\\