Четырехмерный коктейль

Задача

Региональный этап ВОШ — 2009

микроэкономика

КПВ

Можно решить без знания производной

Можно решить без знания экономической теории

Средняя: 4.8 (5 оценок)

Алексей Суздальцев

08.02.2009, 02:12 (Алексей Суздальцев)
03.06.2015, 12:59

(4)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Для приготовления одной порции коктейля "Неустойчивое равновесие" -- фирменного коктейля бара "Economics" -- требуется 1 единица ингредиента A, 2 единицы ингредиента B, 3 единицы ингредиента C и 4 единицы ингредиента D (названия ингредиентов являются коммерческой тайной и не разглашаются). Однако владелец бара, знаменитый бармен и экономист Сэм Полуэльсон, обладает лишь ограниченными ресурсами для закупки дорогих ингредиентов. Так, на имеющиеся у него денежные средства он может купить либо 100 единиц ингредиента A, либо 200 единиц ингредиента B, либо 300 единиц ингредиента C, либо 400 единиц ингредиента D в день.
Какое максимальное число порций фирменного коктейля сможет приготовить Сэм за день?

Решение и ответ

Экономическое
Найдем экономические издержки производства одной единицы коктейля, выраженные вединицах, скажем, ингредиента A.
Явно мы тратим на производство единицы коктейля одну единицу ингредиента A. Неявно тратим:
- одну единицу A, от которой отказываемся, покупая две необходимые для коктейля единицы B;
- oдну единицу A, от которой отказываемся, покупая три необходимые для коктейля единицы C;
- одну единицу A, от которой отказываемся, покупая четыре необходимые для коктейля единицы D.
Таким образом, экономические издержки производства одной единицы коктейля равны $1+1+1+1=4$ единицы ингредиента A.
Поскольку всего имеется 100 единиц ингредиента A, то максимальное число порций коктейля, которое можно приготовить,
равно $100/4 = 25$ порций.
Математическое
Понятно, что бюджетное ограничение Сэма имеет вид
$pA + (p/2)B + (p/3)C + (p/4)D = 100p$,
где $p$- цена ингредиента A, а $A$, $B$, $C$, $D$- количества соответствующих ингредиентов.
Также понятно, что количество порций коктейля будет максимально, если Сэм будет тратить все деньги, и если ингредиенты будут закупаться строго в нужной пропорции.
Пусть $Q$- количество порций коктейля. Тогда пропорции соблюдаются, если $A=Q$, $B=2Q$, $C=3Q$, $D=4Q$.
Подставляя эти равенства в уравнение бюджетного ограничения, получаем:
$pQ + (p/2) \cdot 2Q + (p/3) \cdot 3Q + (p/4) \cdot 4Q = 100p \Rightarrow Q = 25.$

Ответ:

25.

Мне первым в голову пришло вообще другое решение-логическое
Заметим тот факт,что для покупки любого ингредиента(А,B,C,D) на 1 порцию коктейля нам надо потратить 1/100 всех денег,то-есть на 1 коктейль мы тратим 1/25 всех денег,поэтому всего можем сделать 25 коктейлей

Алексей Суздальцев ↑

08.02.2009 03:26 ссылка

Можно и так)
В Москве на олимпиаде и такие решения были)

mary_me

08.02.2009 17:52 ссылка

ух, ну 16 баллов конечно не набрала, но ответ правильный

Данил Фёдоровых ↑

08.02.2009 19:39 ссылка

В Москве правильные ответы были почти у всех участников, вот только максимум (10 баллов) очень малая часть из них получила.

Anna Melko

08.02.2009 19:15 ссылка

за эту задачу вроде только 10 давалось))

Валерий -

08.02.2009 19:44 ссылка

ну а например за мое решение сколько можно было получить??

Алексей Суздальцев ↑

08.02.2009 23:41 ссылка

10, но только расписать все надо поподробнее.

Валерий -

09.02.2009 00:28 ссылка

Супер!ну расписать это не вопрос,наоборот в этом есть весь кайф

Coach Carter

09.02.2009 16:45 ссылка

я в последние 5 минут к ней приступил и решил :)

Макс Савостьянов

10.02.2009 22:09 ссылка

Самая легкая задача после монополиста, расписать не было проблемой :)

Анна Новикова

01.04.2010 10:43 ссылка

что же надо было сделать, чтобы набрать полные баллы?

Григорий Хацевич

20.01.2012 19:12 ссылка

Мне нравится вот такая запись математического решения:
Пусть A,B,C,D - количества соответствующих ингредиентов; Q - количество порций коктейля.
Чтобы соблюдались пропорции, должно быть:
$Q=\frac{A}{1}=\frac{B}{2}=\frac{C}{3}=\frac{D}{4}$
Если I - имеющиеся денежные средства, то, исходя из условия, цена ингредиента A равна $\frac{I}{100}$, цена B равна $\frac{I}{200}$ и т.д. Составляем бюджетное ограничение:
$\frac{I}{100}A+\frac{I}{200}B+\frac{I}{300}C+\frac{I}{400}D=I$
Сокращаем $I$ и выражаем всё через $Q$ из условий на пропорции:
$\frac{Q}{100}+\frac{2Q}{200}+\frac{3Q}{300}+\frac{4Q}{400}=1,$ откуда $Q=25$.

Георгий Карданов

22.01.2012 12:04 ссылка

эта задача в этом году была у нас во Владикавказе на городской ))

Все задачи этой олимпиады

Задача	Баллы
Неравенство среднедушевых доходов	12
Новогоднее предложение от монополиста	16
Четырехмерный коктейль	10
Эластичностный конфликт поколений	8

В олимпиадах

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Автор

Комментарии

Все задачи этой олимпиады