Новогоднее предложение от монополиста

Аналитическое:
Пусть $P_d = a - bQ$, $AC = c$. Тогда $TC = cQ$. По условию, $b = 1$.
$MR = a - 2Q = MC = c \Rightarrow Q^* = \frac{{a - c}}{2}$;
$\pi _{max } = \left( {a - \frac{{a - c}}{2}} \right) \cdot \frac{{a - c}}{2} - c \cdot \frac{{a - c}}{2} = \left( {\frac{{a - c}}{2}} \right)^2 = \left( {Q^*} \right)^2;\\ Q^* = \sqrt {\pi _{\max } } = 2009$.

Геометрическое:

Наклон кривой спроса равен 1. Поэтому
$\left. \begin{array}{r} OF = OE\\ OB = BE\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{OF}{OB} = 2.$
В силу подобия $\bigtriangleup FOB$ и $\bigtriangleup FCA$,
$\frac{{FC}}{{CA}} = \frac{FO}{OB} = 2$.
Получаем:
$ \pi _{\max } = S_{\bigtriangleup FCA} = 0{,}5 \cdot CA \cdot FC = 0{,}5 \cdot CA \cdot 2CA = CA^2$.
Таким образом, в данном случае максимальная прибыль фирмы численно равна квадрату оптимального выпуска:
$Q^* = \sqrt {\pi _{\max } } = \sqrt{4036081} = 2009$.