Работник недели

Решение пункта (а) — это частный случай пункта (б). Поэтому мы сперва решим пункт (б), а затем вернёмся к пункту (а). Участники Конкурса могли сперва решить пункт (а). Все расчёты мы будем производить в тысячах рублей.

б) Необходимо рассмотреть 4 ситуации в зависимости от того, какой вид рекламы делают Юля и Ваня.

• Случай I. И Юля, и Ваня делают стандартную рекламу. Тогда они оба приносят компании 20 тыс. руб. и делят фонд зарплаты пополам; каждый получает $0.5P + 0.5L$ и не несет никаких издержек.
• Случай II. Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Тогда с вероятностью $0.7$ реклама Юли будет успешна. В этом случае она получит $P$, а Ваня $L$. С вероятностью $0.3$ реклама Юли провалится. Тогда Юля получит $L$, а Ваня $P$. Значит, ожидаемый выигрыш Юли с учетом издержек составляет $0.7P + 0.3L - 20$, а ожидаемый выигрыш Вани — $0.3P + 0.7L$.
• Случай III. Ваня делает креативную рекламу, Юля — стандартную. Этот случай аналогичен предыдущему. Единственное отличие заключается в том, что издержки для Вани будут составлять 30 тысяч рублей, а не 20. Значит, выигрыш составит $0.3P + 0.7L$ для Юли и $0.7P + 0.3L - 30$ для Вани.
• Случай IV. Оба делают креативную рекламу. Возможны 4 исхода: реклама и Вани, и Юли успешна (с вероятностью $0.7 \cdot 0.7 = 0.49$); успешна реклама только Вани (с вероятностью $0.7 \cdot 0.3 = 0.21$); успешна реклама только Юли (0.21); реклама обоих провальна (0.09). В первом и последнем исходе Юля и Ваня делят фонд пополам, а в остальных премию получает тот, чья реклама не провалилась. Записав выигрыши, можно увидеть, что ожидаемый выигрыш составляет $0.5P + 0.5L - 20$ для Юли и $0.5P + 0.5L - 30$ для Вани.

Теперь найдём, каким будет равновесие в зависимости от $P$ и $L$. Сначала найдём, когда равновесной будет ситуация, при которой и Ваня, и Юля делают креативную рекламу. В этом случае должна выполняться система:

\[
\begin{cases}
0.5P + 0.5L - 20 \geq 0.7L + 0.3P, \\
0.5P + 0.5L - 30 \geq 0.7L + 0.3P
\end{cases}
\]

Решая эту систему, получаем, что это равновесие соответствует случаю $P \geq L + 150$. В этом случае оба делают креативную рекламу.

Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Аналогично, получаем систему:

\[
\begin{cases}
0.7P + 0.3L - 20 \geq 0.5P + 0.5L, \\
0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 30
\end{cases}
\]

Решением этой системы является $L + 100 \leq P \leq L + 150$. В этом случае креативную рекламу делает только Юля.

Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает стандартную рекламу, а Ваня — креативную. Требуемая система уравнений:

\[
\begin{cases}
0.7P + 0.3L - 30 \geq 0.5P + 0.5L, \\
0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 20
\end{cases}
\]

Решением этой системы является $L + 100 \leq P \leq L + 150$. Такая система не имеет решений. Значит, случай III невозможен в равновесии.

Наконец, рассмотрим ситуацию, когда оба делают стандартную рекламу. Система в этом случае:

\[
\begin{cases}
0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 20, \\
0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 30
\end{cases}
\]

Решая эту систему, мы получаем $P \leq L + 100$. В этом случае оба делают стандартную рекламу.

Если строго следовать условию, корректным ответом будет следующий: оба делают креативную рекламу при $P \geq L + 150$, только Юля делает креативную рекламу при $L + 100 \leq P < L + 150$, и никто не делает креативную рекламу иначе.

а) $P = 50$, $L = 0$ относится к случаю $P \leq L + 100$. При таком значении параметров и Юля, и Ваня будут делать стандартную рекламу.

в) Как описано выше, оба делают креативную рекламу при $P - L \geq 150$, только Юля делает креативную рекламу при $100 \leq P - L < 150$, и никто не делает креативную рекламу иначе. Значит, если $P$ и $L$ вырастают на одну и ту же величину, ситуация не меняется — стимулы создаются благодаря разнице между премией и обычной выплатой, а не благодаря размеру премиального фонда. Увеличение $P$ в некоторых границах, равно как и уменьшение $L$, делают разрыв между премией и обычной выплатой более заметным, что увеличивает стимулы создавать креативную рекламу.

г) Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим равновесие, соответствующее Случаю IV, то есть $P \geq L + 150$. В этом случае ожидаемый выигрыш составляет $0.5P + 0.5L - 20$ для Юли и $0.5P + 0.5L - 30$ для Вани. Если Ваня и Юля договорятся делать стандартную рекламу, выигрыш каждого увеличится до $0.5P + 0.5L$. Такое отклонение, впрочем, не соответствует создаваемым стимулам — в этом случае Юле будет выгодно отклониться от договорённости и создать креативную рекламу.

д) Заметим сразу, что выбор Юли и Вани зависит исключительно от разницы между $P$ и $L$, в то время как прибыль фирмы строго убывает по $L$, поскольку расходы равны $P + L$. Значит, фирме оптимально всегда назначать $L = 0$. При этом, чем меньше значение $P$, тем меньше расходы фирмы.

Тогда у фирмы есть три варианта:

1. Назначить $P \leq 100$ и стимулировать обоих сотрудников делать стандартную рекламу;
2. Назначить $100 \leq P \leq 150$, чтобы Юля делала креативную рекламу;
3. Назначить $P \geq 150$, чтобы оба делали креативную рекламу.

В первом случае лучше всего назначить $P = L = 0$ и получить прибыль в размере 40 тысяч рублей.

Во втором случае выгодно назначить $P = 100$. Тогда с вероятностью $0.7$ реклама Юли не провалится и фирма получит выручку $60 + 20 = 80$ тысяч рублей, а с вероятностью $0.3$ — $10 + 20 = 30$ тысяч рублей. Ожидаемая прибыль равна $0.7 \cdot 80 + 0.3 \cdot 30 - 100 = 56 + 9 - 100 = -35$ тыс. руб.

В третьем случае при $P = 150$: $0.49 \cdot 120 + 0.42 \cdot 70 + 0.09 \cdot 20 - 150 = 58.8 + 29.4 + 1.8 - 150 = 90 - 150 = -60$ тыс. руб.

Значит, оптимален первый случай — фирма установит $P = L = 0$ и получит прибыль в размере 40 тысяч рублей.