Налог Греты

б) Рассчитаем величину общественного благосостояния до и после введения налога. Налоговые поступления равны $T=tQ$. Графическая иллюстрация представлена ниже:

До введения налога объём равен $Q_0=20-15=5$, и величина общественного благосостояния равна:

\(0{,}5Q_0^2+1{,}5Q_0^2+0+\alpha Q_0^2=50-25\alpha\)

После введения налога объём равен $Q-1=20-18=2$, общественное благосостояние составляет:

$0{,}5Q_1^2+1{,}5Q_1^2+tQ_1-\alpha Q_1^2=8+24−4\alpha=32−4\alpha$

Поскольку благосостояние падает на 20%, имеем уравнение $32−4\alpha=0{,}8\cdot(50−25\alpha),$ откуда $\alpha=0{,}5.$

Ответ: $\alpha=\dfrac{1}{2}$

в) Чтобы получить равновесный объем Q, нужно ввести налог по ставке:

$t(Q)=P_d(Q)-P_s(Q)=20-Q−3Q = 20 − 4Q$

Сборы при этом составят $Q\cdot(20−4Q)$. Значит, величина общественного благосостояния при объёме Q составляет:

\(W(Q)=0{,}5Q^2+1{,}5Q^2+Q\cdot(20-4Q)-\alpha Q^2=20Q-2{,}5Q^2\)

Промаксимизируем эту величину по Q, а затем найдем ставку налога t(Q), реализующую этот объём. W(Q) задаёт квадратичную параболу с ветвями вниз, максимум достигается в вершине параболы $Q^*=\dfrac{20}{5}=4$. Этот объём реализует ставка налога $t(4)=4.$

Ответ: $t^*= 4$.