Задача

В олимпиадах

Олимпиада ICEF Evening School — 2019

Раздел

Баллы

20

Темы

Свойства

Сложность

0
Голосов еще нет
13.05.2019, 10:19 (Дарья Елицур)
13.05.2019, 10:36


(0)
Город Бертранвиль имеет прямоугольную планировку и растянулся с запада на восток на 20 километров и с юга на север на 10 километров. Самую юго-западную точку города принято считать нулевым километром – в городе расположение всех домов описывается координатой (x, y), где х – отклонение от нулевого километра по долготе (по горизонтали), у – отклонение по широте (по вертикали) (см. картинку). Город отличается равномерной плотностью населения: 1000 человек на 1 км$^2$

В городе есть всего два книжных магазина: «Книгабон» с координатой (0, 0) и «Старбукс» с координатой (20, 10), издержки закупки одной книги у магазинов соответственно равны $c_1=120$ и $c_2=190$. (Таким образом, два магазина находятся в самых уголках города, на максимальном расстоянии друг от друга).
Каждый житель города (даже дети) всегда покупает одну книгу в месяц, так как больше одной книги они не успевают прочитать, а полезность от чтения у людей города Бертранвиль невероятно высока. Несмотря на это, каждый выбирает для себя наиболее оптимальный вариант магазина, чтобы купить в нём книгу. Издержки на приобретение книги для каждого жителя включают и издержки перемещения, которые вычисляются по формуле $T=2(\Delta x+\Delta y)^2$, где $\Delta x$ – расстояние, которое нужно пройти до магазина с запада на восток (по модулю), $\Delta y$ – расстояние, которое нужно пройти до магазина с севера на юг (по модулю).
В начале каждого месяца оба магазина одновременно назначают цену на свои книги, при этом книги и ассортимент не отличаются, а внутри одного магазина цена на все книги одинакова, таким образом, магазины соревнуются по ценам.

а) Какую цену назначит каждый из магазинов?
б) Не производя расчетов, скажите, какую цену бы назначили магазины, если бы находились в одной точке.