Задача

В олимпиадах

Олимпиада ICEF Evening School — 2019

Раздел

Баллы

15

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет
13.05.2019, 10:46 (Дарья Елицур)
13.05.2019, 10:46


(0)
В городке Шоко-лиго-полис старейшие Кондитерские дома бережно хранят семейные рецепты приготовления шоколада. Несмотря на различия в рецептах функция издержек у всех производителей шоколада одинакова: $TC_i=60q_i,$ где $q_i$ – выпуск фирмы $i$.

Население Шоко-лиго-полиса составляет 100 человек. Индивидуальные функции полезности у жителей городка одинаковы и имеют вид $⍟=200Y-(100-100C)^2$, где C – плитки съедаемого шоколада за день, Y – прочие товары, цена на которые нормирована до единицы, т.е. $p_y=1.$

В городке всего N кондитерских. Все они соревнуются по выпуску, желая максимизировать свою прибыль.

На одном из собраний Шоколадной Гильдии кондитеры решили организовать картель, предполагая, что это может увеличить их прибыль и защитит их от входа новых компаний на рынок. На собрании был принят устав, согласно которому в рамках картеля фирмы обязаны установить одинаковые объёмы выпуска на уровне, при котором прибыль картеля достигала бы своего максимума. Если со временем хоть одна компания отклонится от принятых договорённостей, картель расформировывается.

В Шоко-лиго-полисе фактор дисконтирования равен $\delta=\dfrac{16}{25}$.

а) Покажите, что чем больше кондитерских магазинов на рынке, тем менее перспективна идея организации картеля. Правы ли участники собрания, что картель увеличил бы их прибыль? Выведите функцию q_i (N), изобразите её график.
б) Как изменится прибыль компаний и общественное благосостояние с течением времени?
в) Предположим, что N=3. Будет ли существовать картель? Производители шоколада нашли возможность установить барьер входа на рынок: каждая новая компания, пожелавшая постигать искусство приготовления шоколада, обязана закупить бесполезное и дорогостоящее оборудование у Шоколадной Гильдии на сумму T. Объясните, предоставив необходимые вычисления, как это может помочь старейшим Кондитерским домам.