Задача
В олимпиадах
Олимпиада ICEF Evening School — 2019
Раздел
Баллы
15
Темы
Сложность
Голосов еще нет
13.05.2019, 10:46 (Дарья Елицур)
13.05.2019, 10:46
13.05.2019, 10:46
(0)
В городке Шоко-лиго-полис старейшие Кондитерские дома бережно хранят семейные рецепты приготовления шоколада. Несмотря на различия в рецептах функция издержек у всех производителей шоколада одинакова: $TC_i=60q_i,$ где $q_i$ – выпуск фирмы $i$.
Население Шоко-лиго-полиса составляет 100 человек. Индивидуальные функции полезности у жителей городка одинаковы и имеют вид $⍟=200Y-(100-100C)^2$, где C – плитки съедаемого шоколада за день, Y – прочие товары, цена на которые нормирована до единицы, т.е. $p_y=1.$
В городке всего N кондитерских. Все они соревнуются по выпуску, желая максимизировать свою прибыль.
На одном из собраний Шоколадной Гильдии кондитеры решили организовать картель, предполагая, что это может увеличить их прибыль и защитит их от входа новых компаний на рынок. На собрании был принят устав, согласно которому в рамках картеля фирмы обязаны установить одинаковые объёмы выпуска на уровне, при котором прибыль картеля достигала бы своего максимума. Если со временем хоть одна компания отклонится от принятых договорённостей, картель расформировывается.
В Шоко-лиго-полисе фактор дисконтирования равен $\delta=\dfrac{16}{25}$.
а) Покажите, что чем больше кондитерских магазинов на рынке, тем менее перспективна идея организации картеля. Правы ли участники собрания, что картель увеличил бы их прибыль? Выведите функцию q_i (N), изобразите её график.
б) Как изменится прибыль компаний и общественное благосостояние с течением времени?
в) Предположим, что N=3. Будет ли существовать картель? Производители шоколада нашли возможность установить барьер входа на рынок: каждая новая компания, пожелавшая постигать искусство приготовления шоколада, обязана закупить бесполезное и дорогостоящее оборудование у Шоколадной Гильдии на сумму T. Объясните, предоставив необходимые вычисления, как это может помочь старейшим Кондитерским домам.
Все задачи этой олимпиады
11 класс
| Задача | Баллы |
|---|---|
| Банки и заголовки | 10 |
| Бертранвиль | 20 |
| Дженга | 15 |
| КилоМетровые пути | 10 |
| Королевство гномов | 20 |
| Ценные бумаги и фильмы | 10 |
| Шоко-лиго-полис | 15 |
9-10 класс
| Задача | Баллы |
|---|---|
| Банки и заголовки | 10 |
| Белая ворона | 15 |
| Бертранвиль | 20 |
| Весенние каникулы | 15 |
| Королевское болото | 10 |
| Подземка в Нью-Йорке | 15 |
| Чистый Флекс | 15 |
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
В результате жители будут готовы купить вместе 100 C. Изначально P=MC P=60. Запишем бухгалтерскую прибыль фирмы $PR=60Q-60Q \to max Q=1 PR=0$ Теперь фирмы организовывают картель. теперь у каждой фирмы $MR=MC$. $Qd=const$ $MR=P.$ $P=60q. $подставим это в прибыль кортеля и промаксимизируем. $PR=60q^2-60q$ Прибыль достигает максимума, при максимуме Q таким образом какая-то фирма будет производить максисимум Q, в то время как другие понесут убытки. И картель распадется. Посмотрим сколько удастся разместить фирм, чтобы их прибыль была больше 0.$ PR(N)=60*\frac{100}{N}^2-60*\frac{100}{N}$ \begin{equation*}
PR =
\begin{cases}
60*\frac{100}{N}^2-60*\frac{100}{N} (N<100)\\
0 (N \geq 100)
\end{cases}
\end{equation*}
Этого не требовали в задаче. Но пусть будет.
$$Q=\frac{100}{N}$$
$$Б)$$ С течением времени картель развалился бы, при входе на рынок новых производителей. И благополучие потребителей не изменилось
$$B)$$ При N=3 картель будет существовать, докажем это математически
Если на рынке нет картеля $$P=MC=60, PR=0$$ Теперь на рынке есть картель $$P=60q PR=(60q)^2-60q$$ $$q_{инд}=100/3$$ $$PR_{инд}=3.998.000$$ Значит картель будет существовать. Так как $N \leq 100$ Покупка материала на сумму T в какой-то моммент не впустит фирму на рынок у которой PR(T)<0, в результате чего PR картеля не уменьшится.