Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ - 2018

Раздел

Баллы

6

Темы

Сложность

7.5
Средняя: 7.5 (2 оценок)
29.04.2018, 22:10 (Алёна Захарова)
29.04.2018, 22:10
На левом (L) и правом (R) берегах Молочной реки живут 160 и 200 человек соответственно, которые потребляют на завтрак только блюдо «Хлопья с медом», приготовленное по старинным рецептам. Каждый житель любит такие завтраки и готов их съесть чем больше, тем лучше.
Рецепты на разных берегах отличаются. Жителям Левого берега одного литра меда хватает на 50 порций кукурузных хлопьев, в то время как жители Правого любят менее сладкие хлопья и одного литра им хватает на 100 порций. Иными словами, если $y$ – это объем кукурузных хлопьев, измеряемый в порциях, а $b$ – объем меда в литрах, то $y_L = 50b_L$ и $y_R = 100b_R$. Чтобы сделать порцию завтрака, нужно смешать кукурузные хлопья с медом непременно в заданной пропорции и добавить молоко.
Молоко у жителей есть в неограниченном количестве, а мед и хлопья нужно производить. Каждый житель может тратить свое рабочее время на пасеке или в кукурузном поле. Будем считать, что один пасечник может следить за одним ульем пчел, который производит 1 литр меда. Урожай кукурузы зависит от интенсивности опыления пчелами. Некоторые пчелы летают в том числе на другой берег и опыляют кукурузу там, поэтому ежемесячный урожай кукурузы на каждом берегу зависит от того, сколько пчел на обоих берегах:
$$y_L = (b_L + 0,25b_R) \cdot x_L,$$
$$y_R = (b_R + 0,25b_L) \cdot x_R,$$
где $y$ – производство кукурузных хлопьев, $b$ – количество ульев пчел, $x$ – число рабочих, занятых в производстве кукурузных хлопьев (может быть нецелым). Индексы у всех переменных означают берег.
а) (3 балла) Пусть каждый регион независимо принимает решение о распределении труда между отраслями. Постройте графически кривую производственных возможностей каждого берега для какого-то фиксированного числа ульев на другом берегу. Назовем равновесием такое состояние, когда жители каждого берега не захотят менять распределение труда после того, когда узнают число ульев у другого берега. Сколько меда и хлопьев будет произведено в равновесии?
б) (3 балла) Предположим, два берега объединили усилия и совместно решают, как распределить трудовые ресурсы между пасеками и полями (при этом люди переплывать на другой берег не могут, но передавать мед и хлопья могут). Найдите общую границу производственных возможностей двух берегов. Покажите, что можно достичь большего числа завтраков для каждого берега по сравнению с пунктом а).