Задача

В олимпиадах

Открытый чемпионат школ МГУ — 2015

Раздел

Темы

Свойства

Сложность

8.5
Средняя: 8.5 (2 оценок)
02.09.2017, 13:47 (Елизавета Демьяненко)
02.09.2017, 16:56


(0)
Население некоторого острова составляет ровно n человек. Самый бедный получает 0,01% всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на 0,02 процентных пункта. Найдите коэффициент Джини в данной стране.

Правитель данного острова, который, безусловно, является самым богатым жителем, убежден, что высокое неравенство вредит экономике острова в долгосрочном периоде. Однако в текущий момент времени, как вы уже, наверное, посчитали, ему принадлежит лишь малая часть доходов.

Правитель раздумывает законным способом отнять часть доходов у своего населения. Если это произойдет, и правитель попытается нарушить сложившееся распределение доходов, возмущенное несправедливостью население немедленно объединится в одну партию. После присвоения правителем части доходов населения объединенная партия разделит оставшиеся доходы поровну между n−1 членом партии.
Функцию полезности правителя можно охарактеризовать следующим уравнением:
$$U(G;a)=10(a+1)-1000G^{2},$$
где G - коэффициент Джини на острове, выраженный в долях; a – доля доходов правителя в общем доходе острова, выраженная в процентах (5%, а не 0.05, например).
Определите долю доходов правителя, которая максимизирует его уровень полезности. Захочет ли правитель ограбить население и присвоить часть его дохода? Если да, то какую долю дохода он присвоит?

Примечание:
$$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$