Задача 2 ОЧ-2015 (10 класс)

Сразу заметим, что наши переменные принимают только неотрицательные значения.

Рассмотрим функцию $f(x)=x^{2}−xy−y^{2}+73−9=x^{2}−xy−y^{2}+64$. Найдем y, при которых эта функция будет $\ge 0$ при любом $x\le 3$. Для этого нужно рассмотреть 3 случая.

Во-первых, решить систему (это случай, когда x не меньше 3):

\begin{cases}
f(3)\ge 0\\
x_{вершины} \ge 3 \\
\end{cases}

Решение системы : $\left[6;\dfrac{\sqrt{301}-3}{2}\right]$

Во-вторых, рассматриваемая $f(x)$ будет неотрицательной при условии $D \le 0:$

$$D=y^{2}−4(64−y^{2})=5y^{2}−256\le 0$$
$$y \in \left[−\dfrac{16}{\sqrt{5}};\dfrac{16}{\sqrt{5}}\right]$$

В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше 3: единственное подходящее в этом случае значение – 0. Тогда $y \in [−8;8]$

Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем $y\in [0;8]$.

Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно 8.