Задача 4 ОЧ-2015 (9 класс)

Поэтому она максимизирует функцию $PR=pq−TC$

Рассмотрим оптимальное поведение фирмы на каждом из участков функции

$$
\pi=
\begin{cases}
pq-\dfrac{q^{2}}{2}, &0\le q\le 7\\
pq-(-27q+2q^{2}+115,5), & q \gt 7\\
\end{cases}
$$

Найдем оптимальное количество в зависимости от цены на каждом из участков функции. (На каждом участке функция представляет собой параболу с ветвями вниз).

$$q^{*}=p, q\le 7$$
$$q^{*}=\dfrac{p+27}{4}, q>7$$

Осталось понять следующее. Функция предложения – зависимость $Q(P)$. То есть, чтобы задать функцию предложения, необходимо для каждого значения цены указать соответствующий ей оптимальный уровень выпуска. Рассмотрим, при каких ценах фирме «Альфа» выгодно производить до 7 единиц продукции, а когда более 7 единиц продукции.

Для этого подставим найденные функции $q(p)$ в функции прибыли. Решим неравенство.

$$pq− \dfrac{q^{2}}{2} \le pq-(-27q+2q^{2}+115,5)$$
$$p^{2}−\dfrac{p^{2}}{2} \le p\dfrac{p+27}{4}−(−27\dfrac{p+27}{4}+2\left(\dfrac{p+27}{4}\right)^{2}+115,5)$$
$$3p^{2}−54p+195\le 0$$
$$p^{2}−18p+65\le 0$$
$$p\in [5;13]$$

Таким образом, если цена меньше 5, то мы используем первый участок. Далее мы используем второй участок (т.е. производим $q^{*}=\dfrac{p+27}{4}$). Таким образом, получаем ответ.