Задача 2 ОЧ-2015 (11 класс)

Функция рыночного спроса:
$$q_{рын}=
\begin{cases}
90-3p&, p<20\\
50-p&, 20\le p<50 \\
\end{cases}
$$
Издержки, которые несет Иван:
$FC=200+85∗n$, $n$ - количество используемых серверов
$$VC=2Q$$
Ситуация 1. Единая цена для двух групп
Прибыль фирмы:
$$Pr=(30-13Q)\times Q-2Q-200-85n \to max$$
$$(30−23Q)-2=0$$
Количество, максимизирующее прибыль фирмы: $Q^{*}=42$. Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет $p^{*}=30-\dfrac{1}{3}∗42=16$. Заметим, что полученная цена удовлетворяет первому участку функции рыночного предложения.
Также полезно заметить, что мы нашли именно максимум прибыли, потому что функция прибыли - парабола, ветвями вниз.
Однако с одним сервером Иван не сможет продавать весь этот выпуск. Таким образом, перед ним встает вопрос: продавать только $40$ аудиокниг, оплачивая только $1$ сервер, или дополнительно приобрести еще один сервер и продавать оптимальное количество.
Сравним прибыли Ивана в этих двух случаях.
Если используется $1$ сервер:
$Pr=(30-\dfrac{1}{3}∗40)∗40-2∗40-200-85∗1=\dfrac{905}{3}=301\dfrac{2}{3}$
Если используются 2 сервера:
$Pr=(30-\dfrac{1}{3}∗42)∗42-2∗42-200-85∗2=218$
Поэтому Ивану выгоднее использовать только $1$ сервер. Его прибыль при этом составит $Pr=301\dfrac{2}{3}$.
Проверим второй участок предложения:
$$Pr=(50-Q)*Q-2Q-200-85n\to max$$
$$(50-2Q)-2=0$$
Количество, максимизирующее прибыль фирмы: $Q^{*}=24$. Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет $p^{*}=50−24=26$. Заметим, что полученная цена удовлетворяет второму участку функции рыночного предложения.
При $Q^{*}=24$ Ивану потребуется всего $1$ сервер. Его прибыль составит:
$Pr=24∗26-2∗24-200-85∗1=291$. Это меньше, чем максимальная прибыль в предыдущем пункте.
Ситуация 2. Разные цены для двух групп.
$$Pr=(50-q_{1})∗q_{1}+(20-\dfrac{1}{2}q_{2})∗q_{2}-2(q_{1}+q_{2})-200-85n\to max⁡(q_{1},q_{2})$$
Функция прибыли - сумма двух парабол ветвями вниз. Максимум прибыли достигается, если каждая из парабол достигает максимума. Это происходит при условиях:
$$(50-2q_{1})-2=0$$
$$(20-q_{2})-2=0$$
Т.е. при $q_{1}=24$ и $q_{2}=18$. Суммарное продаваемое количество $Q=24+18=42$, что требует использования двух серверов. Тогда прибыль фирмы составит:
$$Pr=(50-24)∗24+(20-12∗18)∗18-2(24+18)-200-85∗2=368$$
Как и в первом случае, необходимо сравнить полученную прибыль с прибылью, которую можно получить, используя только один сервер. Тогда необходимо решить следующую задачу:
$$Pr=(50-q_{1})∗q_{1}+(20-\dfrac{1}{2}q_{2})∗q_{2}-2(q_{1}+q_{2})-200-85n\to max(q_{1},q_{2})$$
$$\text{при условии } q_{1}+q_{2}=40$$
Выражая одно количество через другое и подставляя в функцию прибыли, получаем:
$$Pr=(50-(40-q_{2}))∗(40-q_{2})+(20-\dfrac{1}{2}q_{2})∗q_{2}-2∗40-200-85n\to max⁡(q_{2})$$
$$Pr=(10+q_{2})(40-q_{2})+20q_{2}-\dfrac{1}{2}q_{2}^{2}−280−85=50q_{2}−\dfrac{3}{2}q_{2}^{2}+35$$
$$50−3q_{2}=0$$

Оптимальное количество в этом случае: $q_{2}=\dfrac{50}{3}=16\dfrac{2}{3}$. Однако количество продаваемых аудиокниг, естественно, может быть только целым числом. Поэтому необходимо сравнить два ближайших целых значения:
1) $q_{2}=16$

Тогда $q_{1}=40-16=24. p_{1}=50-24=26;p_{2}=20−12∗16=12.$

Прибыль фирмы составит: $Pr=50∗16-\dfrac{3}{2}∗16^{2}+35=451$

2)$q_{2}=17$

Тогда $q_{1}=40−17=23. p_{1}=50-23=27;p_{2}=20−\dfrac{1}{2}∗17=11\dfrac{1}{2}.$

Прибыль фирмы составит: $Pr=50∗17−\dfrac{3}{2}∗17^{2}+35=451\dfrac{1}{2}.$

Таким образом, прибыль с использованием одного сервера превосходит прибыль при использовании двух серверов. Поэтому прибыль Ивана составит $451\dfrac{1}{2}$. Будет продано $q_{2}=17$ по цене $p_{2}=11\dfrac{1}{2}$ и $q_{1}=23$ по цене $p_{1}=27$.

3) Если аренда сервера теперь составляет $1$ читалик.

Ситуация 1: $PR_{1 сервер}=301\dfrac{2}{3}+85−1=385\dfrac{2}{3}; PR_{2 сервера}=218+85∗2−2=386.$

Теперь выгоднее продавать $42$ аудиокниги, используя $2$ сервера.

Ситуация 2: $PR_{1 сервер}=451\dfrac{1}{2}+85−1=535\dfrac{1}{2}; PR_{2 сервера}=368+85∗2−2=536.$

Теперь выгоднее использовать два сервера. Продавать $q_{1}=24$ и $q_{2}=18.$