Задача 4 ОЧ-2016 (9 класс)

1) В этом пункте без ограничения общности перенумеруем магазины так, что $x_1 \le x_2$. Всем потребителям, живущим севернее $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ км, ближе идти до магазина 1, а всем, живущим южнее, – до магазина 2.

Наиболее удаленный от магазинов покупатель может жить либо на окраине города (0 км, 60 км), либо ровно между магазинами $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \text{ км}\right)$. Таким образом, расстояние может быть равно $x_1$, $60 − x_2$ или $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ − $x_1 = \dfrac{x_2−x_1}{2}$. Опционально, школьник здесь может нарисовать график временных затрат для потребителя в
зависимости от его места жительства.

Соответственно нам нужно минимизировать следующее выражение:
$$max \left(x_1, 60 − x_2, \dfrac{x_2 − x_1}{2}\right) \to min$$
Минимум достигается там, где: $ \begin{cases}
x_1 = 60 − x_2 \\
x_1 = \dfrac{x_2−x_1}{2}
\end{cases}$
$\textbf{Ответ: } \begin{cases}
x_1 = 15 \\
x_2 = 45
\end{cases}$

2) Выразим функции спроса на магазин 1 в зависимости от $x_1$ и $x_2$:
\begin{equation*}
Q_1(x_1, x_2) =
\begin{cases}
x_1 + \dfrac{x_2 − x_1}{2}, x_1 \lt x_2 \\
60 − x_1 + \dfrac{x_1 − x_2}{2}, x_2 \lt x_1 \\
30, x_1 = x_2
\end{cases}
\end{equation*}
Предположим, что $x_2 \lt 30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения находятся рядом с магазином 2, немного к югу от него.
Предположим, что $x_2 > 30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения рядом с магазином 2, немного к северу от него.
Предположим, что $x_2 = 30$. Тогда, максимум функции достигается в точке $x_1 = x_2$

3) Аналогично пункту 2 (Допускается именно такая фраза в решении)

4) Если $x_1 < 30$, то второму магазину выгодно быть рядом с магазином 1 ($x_2 \lt 30$), но немного к югу. В таком случае 1 магазину выгодно отклониться и переместиться немного к югу от магазина 2.

Аналогично для случая $x_1 > 30$

В случае $x_1 = 30$, оптимальный ответ: $x_2 = 30$. В таком расположении никому не выгодно отклоняться и потому это равновесие.

5) Нет, не эффективно. При таком расположении наибольшее расстояние до магазина составит 30, в то время как при эффективном раскладе расстояние составит 15.

Если строгость рассуждений и прозрачность решения не рушится, некоторые отсутствующие в решении школьника пункты можно засчитывать, при условии верно данного ответа.