Ностальгия

Разберемся с единицами измерения. Чиновник требует платить 0,8% от прибыли за каждую проданную тысячу бутылок. То есть, например, если прибыль в текущем году составит 500 тысяч рублей, то в последующие годы придется по $500\cdot 0,008$ тысяч рублей за каждую тысячу бутылок, или, что то же самое, по по $500\cdot 0,008= 500/125$ рублей за каждую бутылку. Таким образом, средние издержки магазина, начиная с первого года, увеличатся на $\pi_0/125$ рублей.

Пусть $\pi_0$ – прибыль текущего года. Тогда функция суммарной прибыли (здесь и далее – в тысячах рублей) за 6 лет имеет вид
\[
\pi_0+ \underbrace{(100-P_1)\left(P_1-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_1}
+ \underbrace{(100-P_2)\left(P_2-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_2} + \ldots + \underbrace{(100-P_5)\left(P_5-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_5}.
\]
Если цена текущего года $P_0$ выбрана и $\pi_0$ определено, то все остальные прибыли – квадратичные параболы с ветвями вниз, причем одинаковые, не зависящие друг от друга и имеющие вершины в точках
\[
P_t= \frac{100+50+\pi_0/125}{2}=75+\frac{\pi_0}{250}, \quad \text{где } t\in\{1, 2, 3, 4, 5\}.
\]
Тогда максимальное значение прибыли за пять последующих лет равно
\[
\sum_{t=1}^5 \pi_t=\pi_1+\pi_2+\pi_3+\pi_4+\pi_5=5\left(100-75-\frac{\pi_0}{250}\right)\left(75+\frac{\pi_0}{250}-50-\frac{\pi_0}{125}\right)=5\left(25-\frac{\pi_0}{250}\right)^2.
\]
А суммарная прибыль за все годы составит
\[
\Pi = \pi_0 + \sum_{t=1}^5 \pi_t= \pi_0+5\left(25-\frac{\pi_0}{250}\right)^2.
\]

Посмотрим, чему может быть равна $\pi_0$. Функция $\pi_0=(100-P_0)(P_0-50)$ – парабола с ветвями вниз, область значений которой простирается от $-\infty$ до 625 (при $P_0=75$). Ограничение на величину убытков сокращает область допустимых значений $\pi_0$ до отрезка $[-250; 625]$.

Функция $\Pi$, как нетрудно проверить, – парабола с ветвями вверх и вершиной в $\pi_0=0$. Чем дальше от вершины параболы (в любую сторону, так как она симметрична), тем больше ее значение, следовательно, $\pi_0=625$ приносит бОльшую суммарную прибыль, чем $\pi_0=-250$.

Отсюда нетрудно посчитать, что $P_0=75$, $P_t=77,5$, где $t\in {1, \dots, 5}$.