Дороги и ...

Задача

Заключительный этап ВОШ — 2015

2-й тур: Задачи

микроэкономика

производитель и рынки

совершенная конкуренция

Можно решить без знания производной

Можно решить без знания экономической теории

Средняя: 7.3 (13 оценок)

Филипп Картаев

13.04.2015, 15:55 (Данил Фёдоровых)
05.01.2017, 00:16

(3)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

В королевстве Озерном есть пять городов: A, B, C, D, E. Они расположены в указанной последовательности вокруг большого озера. Расстояние от города А до города B составляет 4 км, от В до С — 13 км, от С до D — 6 км, от D до E — 12 км, наконец, от E до A — 11 км. Дорога вокруг озера, которая соединяет города, находится в ужасном состоянии. Парламент Озерного королевства хотел бы, чтобы была построена новая асфальтовая дорога. Для этого он нанимает строительную компанию «Дорстрой».

Парламент расположен в городе А (столице) и готов выплатить «Дорстрою» $P$ золотых монет за каждый город, из которого можно будет доехать до столицы по асфальтовой дороге (величина $P$ одинакова для каждого города, независимо от расстояния между ним и столицей).

Строительство каждого километра дороги обходится «Дорстрою» в 100 золотых монет, и руководство этой фирмы стремится максимизировать свою прибыль.

(а) Для каждого значения $P$ укажите, какие города будут соединены со столицей асфальтовой дорогой. (Для тех случаев, когда «Дорстрою» одинаково выгодны несколько вариантов длины дороги, считайте, что «Дорстрой» всегда выбирает самый длинный.)

(б) Для каждого значения $P$ укажите максимальную прибыль фирмы «Дорстрой».

Решение и ответ

Построим функцию издержек фирмы «Дорстрой».

Ясно, что если «Дорстрой» решит соединить со столицей только один город, то это будет город $B$, так как до него от столицы ближе всего.

Если же фирма решит присоединить к столице два города, то это буду города $B$ и $E$, так как в этом случае длина дороги составит $11+4=15$ километров. Во всех других случаях требуемая длина дороги будет больше: если соединять со столицей города $B$ и $C$, то придется построить $4+13=17$ километров дороги; а если города $E$ и $D$, то и того больше $(11+12=33).$

Аналогично, легко проверить, что если «Дорстрой» примет решение соединить со столицей три города, то это будут города $B$, $C$, $D$. И длина дороги составит $4+13+6=23$ километра.

Наконец, если соединять со столицей все четыре города, то следует протянуть дорогу $C$-$D$-$E$-$A$-$B$, и в этом случае ее длина будет равна $6+12+11+4=33$ километра.

Занесем эти данные в таблицу, рассчитав общие и предельные издержки строительной компании.

Количество городов, соединенных асфальтовой дорогой со столицей (выпуск фирмы)	Список городов (черточки обозначают соединение городов дорогой)	Длина дороги	Общие издержки	Предельные издержки
1	A-B	4	400	400
2	E-A-B	15	1500	1100
3	A-B-C-D	23	2300	800
4	C-D-E-A-B	33	3300	1000

Фирма «Дорстрой» является ценополучателем, поэтому для нее определена функция предложения. Определив предельные издержки «Дорстроя» мы можем любым из стандартных способов определить его функцию предложения:

$p\in [0,400]$	$q=0$: ни один город не соединен со столицей асфальтовой дорогой.
$p\in [400,950]$	$q=1:$ город B соединен асфальтовой дорогой со столицей.
$p\in [950,1000]$	$q=3$: города $B$,$ C$,$ D$ соединены асфальтовой дорогой со столицей.
$p>1000$	$q=4$: все города соединены дорогой со столицей

Наконец, зная функцию предложения, мы можем определить максимальную прибыль фирмы.

$p\in [0,400]$	Прибыль$\text{ } =0$
$p\in [400,950]$	Прибыль$\text{ } =P-400$
$p\in [950,1000]$	Прибыль$\text{ }=3P-2300$
$p>1000$	Прибыль$\text{ }=4P-3300$

Все задачи этой олимпиады

1-й тур: Задачи

Задача	Баллы
Два завода	25
Налоги	25
Повышение квалификации	25
Слияния и поглощения	25
Такси	25
Экономисты-неудачники	25

2-й тур: Задачи

Задача	Баллы
Бесплатные услуги	25
Война?!	25
Государственный долг	25
Дороги и ...	25
Ожидания	25
Учитель и ученики	25

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады