На некоторой плоскости есть четыре города, расположенные в вершинах выпуклого четырехугольника $ABCD$. Города впервые в истории решают провести между собой спортивное соревнование — Весеннюю Олимпиаду. Поскольку ни один из городов изначально не обладает необходимой для Олимпиады инфраструктурой, на то, чтобы быть местом ее проведения, претендует любая точка плоскости (в том числе, и сами города). Каждый город хотел бы, чтобы Олимпиада прошла как можно ближе к нему.
а) Будем называть точку проведения Олимпиады общественно оптимальной в случае, если сумма расстояний от нее до городов минимальна. Найдите эту общественно оптимальную точку и обоснуйте свой выбор.
б) Представим себе ситуацию, при которой на голосование городов были бы вынесены две альтернативы: провести Олимпиаду в точке $X$ или провести ее в точке $Y$ (точки $X$ и $Y$ не совпадают). Будем говорить, что точка $X$ побеждает точку $Y$, если при таком голосовании как минимум три города из четырех голосовали бы за $X$. Найдите множество точек $P$ на данной плоскости, таких, что точку $P$ не побеждает ни одна другая точка, отличная от $P$. Являются ли эти точки общественно оптимальными?

Комментарии

Ну, а тут кто как пункт б) доказывал?
Через множество тупоугольных и прямоугольных треугольников.
Я опускал на диагонали перпендикуляры и показывал (доказывал), что точка куда упадет перпендикуляр лучше, чем та из которой был опущен перпендикуляр. Т.к. диагонали две, то это можно делать до бесконечности и в конце концов это всё стремится к точке пересечения диагоналей.
Да, "единственная точка, из которой нельзя провести перпендикуляр ни на одну из диагоналей, - это точка пересечения диагоналей".
Так не проще?

Б)Ясно, что искомая точка не более, чем одна. Действительно, пусть существуют хотя бы две такие точки, P1 и P2. Но P1 побеждает любую отличную от самой себя точку, в т.ч. P2; P2 побеждает любую отличную от самой себя точку, в т.ч. P1. Значит при выборе между ними минимум три города гарантировано проголосуют за P1 и минимум три- за P2, т.е. всего городов не менее шести Противоречие.
Теперь докажем, что общественно оптимальная точка O удовлетворяет условию. Построим окружности w1, w2, w3, w4 с центрами в точках A, B, C, D и радиусами OA, OB, OC, OD соответственно. Тогда если точка I побеждает O, то она ближе как минимум к трем городам, т.е. лежит внутри как минимум трех из проведенных окружностей. Но эти окружности попарно касаются(w1 и w3, w2 и w4), потому никакие три из них не имеют общих точек, за исключением O.

По условию, P1 не побеждает ни одна другая точка. Но это не значит, что P1 побеждает любую другую (согласно введенной терминологии, когда голосов за две точки поровну, то ни одна из них не побеждает другую). Так что в Вашем доказательстве того, что искомая точка не более, чем одна, есть ошибка.
Понял, спасибо.
б). Если за точку голосуют четыре города, то эта точка из пункта а) и она общественно оптимальна
Если голосуют за точку три города, то они составляют треугольник и в нем $X$ должна находиться на равном расстояние от всех трех городов, то есть на пересечение серединных перпендикуляров. Так как здесь 4 треугольника, то и точек 4. Очевидно, что эти точки могут быть общественно оптимальными, так и нет.