Рациональная уборка

Будем называть первым, вторым и третьим студентов, живущих на первом, втором и третьем этаже соответственно, через $x, y$ и $z$ будем обозначать их стратегии суммы, которые каждый из них потратит на уборку, а через $U_i(x,y,z)$ полезность $i$-го студента при условии, что первый потратил $x$, второй потратил $y$, а третий потратил $z$. Будем искать равновесные профили стратегий наборы $(x,y,z)$, такие, что ни один из студентов не захочет изменить свою стратегию при фиксированных стратегиях остальных студентов.
а) По условию каждый студент может профинансировать уборку любого целого числа этажей, поэтому $x,y,z \in {0,2,4,6}$.

1) Первому студенту не имеет никакого смысла оплачивать уборку более чем одного этажа, а второму больше двух. Поэтому в равновесии $x \in {0,2}$ и $y \in {0,2,4}$.

2) Профиль $(x,y,z)=(0,0,0)$ не является равновесием, поскольку второму студенту выгодно отклониться и профинансировать уборку одного этажа: $U_2(0,0,0)=12 < 16=U_2(0,2,0)$.

3) Профиль $(x,y,z)=(2,0,0)$ не является равновесием, поскольку третьему студенту выгодно отклониться и профинансировать уборку одного этажа: $U_3(2,0,0) = 16 < 17=U_3(2,0,2)$.

4) Из пунктов 13 следует, что профили, в которых $y=z=0$, не являются равновесиями. Значит, в равновесии хотя бы один из двух студентов второй или третий платит ненулевую сумму денег.

5) Студент, живущий на первом этаже, в равновесии не будет оплачивать ни одного этажа, если любой из живущих выше профинансирует хотя бы один этаж. Поэтому из $yz \neq 0$ следует $x=0$.

6) Из пунктов 45 следует, что в равновесии первый студент ничего не платит: $x=0$.

7) Рассмотрим случай $x=y=0$. Заметим, что $U_3(0,0,4)=15 > 14=U_3(0,0,2)=U_3(0,0,6) > 11=U_3(0,0,0)$. Значит, если первый и второй студенты не скидываются на уборщицу, то третий предпочтет оплатить помывку двух этажей.

8) Легко проверить, что $(0,0,4)$ равновесие. Это следует из пункта 7, а также из того, что первому и второму студенту не имеет смысла что-либо платить уборщице, когда третий студент оплатил уборку первых двух этажей.

9) Рассмотрим случай $x=0$, $y=2$. Заметим, что в равновесии $z \notin {4,6}$, так как в противном случае второй студент действует неоптимально, платя что-то в ситуации, когда третий студент уже оплатил уборку второго этажа.

10) Легко видеть (см., например, пункт 3), что $U_3(0,2,0)=16 < 17=U_3(0,2,2)$. Поэтому профиль $(0,2,0)$ не является равновесием.

11) Убедимся, что $U_2(0,2,2)=U_2(0,0,2)=18$. По условию в случае одинаково прибыльных альтернатив студент предпочитает ту, в которой он платит меньше. Значит, для второго студета профиль $(0,0,2)$ предпочтительнее профиля $(0,2,2)$. Из этого следует, что $(0,2,2)$ не равновесие.

12) Рассмотрим случай $x=0$, $y=4$. Заметим, что в равновесии $z=0$, так как в противном случае второй студент действует неоптимально, платя $y=4$. Но $U_2(0,4,0)=U_2(0,2,0)=16$, поэтому, в силу условия, второй студент предпочитает профиль $(0,2,0)$ профилю $(0,4,0)$. Следовательно, профиль $(0,4,0)$ не является равновесием.

13) Из пунктов 1 и 712 следует, что в пункте а) этой задачи есть ровно одно равновесие, когда третий студент оплачивает уборку двух этажей, а остальные студенты не платят ничего: $(x,y,z)=(0,0,4)$.

б)

1) Рассмотрим первого студента. Он может гарантировать себе полезность, равную как минимум 17, если не будет ничего платить.

2) В силу пункта 1 первый студент никогда не будет платить больше 2 долларов.

3) Первый студент будет оплачивать уборку одного этажа в том и только в том случае, если два других студента оплатили ровно два этажа (тогда полезность первого студента равна 18, в то время как грязный первый этаж принесет ему полезность не более 17).

4) Пусть $x=2$. Тогда, в соответствии с пунктом 3, $y+z=4$. Профиль $(2,0,4)$ не является равновесием, так как третьему студенту будет лучше уменьшить его долю до 2. Профиль $(2,2,2)$ не является равновесием, так как третьему студенту лучше вообще ничего не платить. Профиль $(2,4,0)$ не является равновесием, так как второму студенту выгоднее оплатить уборку только одного этажа (по условию задачи, если полезность одинакова, студент предпочтет тот вариант, в котором он платит меньше денег). Следовательно, в равновесии $x \neq 2$. Поэтому $x=0$.

5) Пусть $x=0$. Если $y+z=0$ или $y+z=2$, то это не равновесие, так как третьему студенту будет выгоднее профинансирвоать уборку еще одного этажа.

6) Если $x=0$ и $y+z=4$, то это не равновесие в силу пункта 3.

7) Пусть $x=0$ и $y+z=6$. Если $y=2$, $y=4$ или $y=6$, то второму студенту будет выгоднее изменить свое решение и уменьшить свои расходы на 2 доллара. Если $y=0$ и $z=6$, то третьему студенту выгоднее уменьшить свои расходы на 2 доллара.

Таким образом, в пункте б) нет равновесий.

в) а)

1) Очевидно, что первому студенту нет смысла финансировать помывку второго и третьего этажа. Поэтому $x \leqslant 3$.

2) Если $x>0$ и $x+y+z \neq 3$, то это не равновесие. Действительно, если $x+y+z > 3$, то первый студент мог бы сэкономить первый этаж и так будет помыт. А если $x+y+z < 3$, то первый студент выбрасывает деньги на ветер.

3) Заметим, что если $x+y+z=3$, то есть профинансирована уборка одного этажа, то независимо от распределения расходов студентов третьему студенту будет выгоднее доплатить еще 3 доллара за уборку оставшихся двух этажей (на этом он сэкономит 4 единицы неудовольствия). Значит, профили, такие, что $x+y+z=3$, не являются равновесиями.

4) Пусть $x=0$. Если $y+z=0$, то это не равновесие, так как третьему студенту будет выгоднее оплатить уборку первого этажа. Если $y+z \in {1,2,4}$, то этот профиль не является равновесием, так как второй или третий студент тратит деньги впустую. Если $y+z=3$, то это не равновесие по пункту 3).

5) Пусть $x=0$ и $y+z=5$. Легко непосредственной проверкой убедиться, что профили $(0,1,4)$, $(0,0,5)$ являются равновесиями. Профили, в которых $y\geqslant 2$, равновесиями не являются, так как второму выгодно уменьшить свой платеж на 2 (при том же уровне полезности он заплатит меньше).

6) Если $x=0$ и $y+z=6$, то равновесий нет: если $z>0$, то третьему выгодно уменьшить платеж на 1, а если $z=0$, то второй зря оплачивает уборку третьего этажа.

Таким образом, есть 2 равновесия: $(0,1,4)$ и $(0,0,5)$.

в) б)

1) Как и в пункте {б)}, первый студент никогда не будет платить больше 2 долларов.

2) Если первый студент тратит больше нуля, то в сумме оплачивается уборка всех этажей (иначе первому бы стало лучше, если бы он ничего не платил). Другими словами, если $x > 0$, то $x+y+z=6$.

3) Если $x+y+z=6$, то $z=0$. Действительно, если $z > 0$, то третьему студенту выгоднее потратить на 1 доллар меньше. Тогда первый этаж не будет вымыт, третий студент получит тот же уровень полезности, но заплатит меньше.

4) Если $x+y+z=6$, то $y \leqslant 1$. Если бы было $y > 1$, то второму студенту было бы выгодно уменьшить свой вклад на 2.

5) Из пунктов 24 следует, что равновесий в случае $x > 0$ быть не может. Следовательно, $x=0$.

6) Пусть $x=0$. Если $y+z < 3$, то это не равновесие, поскольку третьему студенту будет выгодно добавить столько денег, чтобы хватило на уборку двух верхних этажей. Если $y+z \in {4,5}$, то кто-то из студентов отдает уборщице деньги задаром. Случай $y+z=6$ не может быть равновесием в силу пунктов 3 и 4.

7) Остается случай $x=0$, $y+z=3$. Легко проверить, что все такие профили являются равновесиями. Сейчас убираются два этажа, и никому не выгодно увеличивать свой платеж на 3, чтобы оплатить уборку еще одного этажа. Уменьшать свой платеж второму или третьему нет никакого смысла штраф за грязь будет больше.

Таким образом, равновесия в этом пункте такие: $(0,0,3)$, $(0,1,2)$, $(0,2,1)$, $(0,3,0)$.

г) а) Суммарная полезность трех студентов в зависимости от числа вымытых этажей $n$ равна
$$
U(n)=60-3 \times(1-min(n,1))^2-2\times(2-min(n,2))^2-(3-min(n,3))^2-2n.
$$
Нам достаточно сравнить значения функции $U(n)$ при $0 \leqslant n \leqslant 3$. Легко видеть, что
$$
U(0)=40, U(1)=52, U(2)=55, U(3)=54.
$$
Таким образом, общественный максимум будет при двух мытых этажах. Суммарная полезность студентов по сравнению с равновесием из пункта а) не изменится.

г) б) Теперь суммарная полезность трех студентов в зависимости от числа вымытых этажей $n$ равна
$$
U(n)=60-3\times(1-max((n-2),0))^2-2\times(2-max((n-1),0))^2-(3-max(n,0))^2-2n.
$$
Вычислим значения функции $U(n)$ при $0 \leqslant n \leqslant 3$:
$$
U(0)=40, U(1)=43, U(2)=50, U(3)=54.
$$
Следовательно, общественно оптимальным вариантом является уборка трех этажей. Напомним, что в пункте б) равновесий не было!

г) в) а) В этом пункте суммарная полезность трех студентов может быть представлена в виде
$$
U(n)=60-3\times(1-min(n,1))^2-2\times(2-min(n,2))^2-(3-min(n,3))^2-a(n),
$$
где
$$
a(n) = \begin{cases}
0, & \text{если $n=0$};\\
3, & \text{если $n=1$};\\
5, & \text{если $n=2$};\\
6, & \text{если $n=3$}.\\
\end{cases}
$$
Тогда
$$
U(0)=40, U(1)=51, U(2)=54, U(3)=54.
$$
В силу предпосылки задачи, управляющая компания опять выберет мытье 2 этажей. Для обоих допустимых здесь равновесий из задачи в)а) суммарная полезность студентов не изменится.

г) n в) б) Наконец, здесь суммарная полезность трех студентов равна
$$
U(n)=60-3\times(1-max((n-2),0))^2-2\times(2-max((n-1),0))^2-(3-max(n,0))^2-b(n),
$$
где
$$
b(n) = \begin{cases}
0, & если \ n=0; \\
1, & если \ n=1; \\
3, & если \ n=2; \\
6, & если \ n=3.\\
\end{cases}
$$
Поэтому
$$
U(0)=40, U(1)=44, U(2)=51, U(3)=54.
$$
Значит, управляющая компания наймет уборщицу для мытья всех трех этажей. По сравнению с пунктом в) б), управляющая компания добилась улучшения общественного благосостояния.