Задача

В олимпиадах

Конкурс РЭШ — 2012

Баллы

22

Темы

Сложность

10
Средняя: 10 (3 оценок)

Автор

13.04.2012, 19:45 (Данил Фёдоровых)
25.04.2015, 20:46
В крайнем подъезде трехэтажного общежития живут три студента-медика, каждый на своем этаже. Лифта в подъезде нет. Студенты не любят грязь, поэтому они решили скинуться и нанять уборщицу, которая бы мыла лестничные площадки напротив каждой квартиры.

Удовольствие студента зависит от того, сколько чистых площадок он встречает на пути домой. Кроме того, чем больше лестничных площадок проходит студент, пока идет домой, тем более он терпим к грязи.

Удовлетворение студента, живущего на $i$-м этаже, можно описать формулой: $$ U_i=20-(4-i)\cdot(i-x)^2-2y,$$ где $x$ — число чистых этажей на пути студента к своей комнате, а $y$ — то число вымытых этажей, которое он профинансировал из своего кармана. В случае, если у студента одинаковое удовлетворение от финансирования мытья разного количества этажей, он предпочтет тот вариант, где ему приходится тратить меньше.

Уборщица готова мыть одну площадку за 2 доллара. При этом вне зависимости от того, кто платит, работать она начинает с нижнего этажа, потом моет второй и только потом — третий. Таким образом, студент не может заставить уборщицу помыть его этаж, если не помыты все более низкие этажи. Например, если уборщице заплатили 4 доллара, то она помоет только 1-й и 2-й этажи независимо от того, кто платил.

В начале месяца каждый студент сообщает, уборку скольких этажей он собирается финансировать. Каждый студент может профинансировать уборку любого целого числа этажей. Студенты дают свои обещания одновременно. Назовем равновесием такой набор обещаний студентов, когда ни одному из студентов по отдельности не выгодно его пересмотреть после того, как все узнали обещания друг друга.

а) Сколько этажей будет вымыто в равновесии? Кто и в каком размере оплатит услуги уборщицы?
б) Уборщица решила изменить свои привычки, и теперь она моет этажи сверху вниз (сначала третий, потом второй и только потом первый). Как изменятся ответы на вопросы пункта а)?
в) Проработав пару недель, уборщица поняла, что первый этаж является самым грязным, так как по нему ходят три человека. Второй этаж в полтора раза чище, а площадка на третьем этаже, куда доходит только один студент, и вовсе в три раза чище той, что на первом этаже. Она решила, что по-прежнему готова брать за мытье всего подъезда 6 долларов, но только теперь оплата будет взиматься пропорционально загрязненности этажа: 3 доллара за первый этаж, 2 — за второй и 1 — за третий.
Каждый из студентов может потратить любую сумму от 0 до 6 долларов. Это решение студенты принимают одновременно. Далее уборщица смотрит на полученную сумму и вычисляет, на уборку скольких этажей этого хватает. Если при этом у нее остается излишек, которого не хватает для оплаты уборки следующего этажа, то она этот излишек никому не возвращает и следующий этаж не моет.
Соответственно, удовлетворение студента, живущего на $i$-м этаже, в этом случае можно описать формулой: $$U_i=20-(4-i)\cdot(i-x)^2-z,$$ где $z$ — это число профинансированных из своего кармана долей загрязненности от общего числа 6, а все остальные обозначения имеют прежний смысл. Как в этом случае изменятся ответы на вопросы пунктов а) и б)?
г) Предположим, что теперь решение о том, сколько платить уборщице, принимают не студенты, а управляющая домом компания. Управляющая компания стремится максимизировать суммарную полезность трех студентов. К каким исходам это приведет в условиях пунктов а), б), в)? Как изменится суммарная полезность трех студентов в условиях пунктов а), б), в) при наличии управляющей компании?}

Комментарии

Какие у кого ответы получились?
у меня в б) не установится равновесие
Как доказывал?
таблицами
Аналогично. Я так понял: все таблицы составляли. А дальше?
таблицы вида: по горизонтали кто-то, а по вертикали - 2 других?
потом в каждой строчке лучший вариант...
Только у меня в столбце лучший вариант.
Ага) Ну или я путаю горизонталь и вертикаль, но это неважно, суть таблицы одна и та же.
а)Равновесие будет достигнуто при двух вымытых этажах, за них заплатит третий студент.
б)Равновесие не будет достигнуто.
в)Случай а). Вымыто 2 этажа.Оплачивают второй и третий(сумма - 5) в такой пропорции, что выплата второго меньше двух(возможно, все платит третий).
Случай б). Вымыто 2 этажа. Платят второй и третий в любой пропорции.
г) Случай а) - будет вымыто 2 этажа. Суммарная полезность не изменится.
Случай б)- будет вымыто 3 этажа.
Случай в)( а)) - будет вымыто 2 или 3 этажа. Суммарная полезность не изменится.
Случай в) ( б)) - будет вымыто 3 этажа. Суммарная полезность увеличится.
В пункте Г.В.А) полезность только не изменится.
да, только что понял
Как доказывал отсутствие равновесия?
Если вымыто 0, выгодно отклониться тому-то, если вымыто 1, то тому-то и так далее.
Также, только по немного по другой формулировке: один из студентов никогда не предпочтёт видеть вымытыми 0, 1 или 2 этажей. А если они хотят видеть вымытыми 3 этажа, то 2 будут бездельничать, а "нижний" согласится платить максимум за один этаж.
да, с тремя надо было пояснить
согласен со всем кроме г для в) а) почему увеличится вроде 54 и останется?
Требовалось ли доказывать единственность равновесия по Нэшу в каждом пункте, где оно существует?
Глеб, чисто теоретически вполне может существовать и несколько равновесий. Поэтому в каждом пункте необходимо было найти все равновесия и доказать, что других равновесий нет.