Газированный "Южный"

Задача

Муниципальный этап ВОШ (Москва) — 2015

10 класс

Можно решить без знания производной

Средняя: 5.6 (7 оценок)

23.02.2017, 22:52 (Дарья Елицур)
23.02.2017, 22:52

(0)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

В регионе Северный функция спроса на газированный напиток «Южный» $Q^D(P)=320-2P$, где $Q$ и $P$ выражены в соответствующих условных единицах. Средние переменные издержки единственной компании, которая поставляет напиток «Южный» во все точки его продаж в регионе постоянны и равны 20. Кроме того, компания несёт фиксированные затраты в размере 10. Региональные власти хотели бы сократить объём потребления газированных напитков, получив при этом от компании выплаты в бюджет региона. С этой целью власти вводят налог по ставке $t$ за каждую проданную единицу продукции. Налог вводится таким образом, чтобы максимизировать выплаты в региональный бюджет. На сколько процентов при этом сократится объём потребления газированного напитка и на сколько (в %) изменится его цена?

Решение и ответ

Прибыль компании, которая при данных условиях задачи действует как монополист, имеет вид:
$П=\left(160-\dfrac{Q}{2}\right) Q -20Q-10$, где учтено, что обратная функция спроса $P^D(Q)=160-\dfrac{Q}{2}$, а переменные издержки компании $VC=AVC(Q)\cdot Q=20Q$.

За правильные расчёты - 2 балла

Выражение для прибыли представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой в пространстве $(Q,П)$ направлены вниз. Тогда, максимизируя прибыль, компания будет производить Q^*=140 по цене P^*=160-\dfrac{140}{2}=90$.

За правильные расчёты – 2 балла

Если региональные власти вводят налог по ставке $t$, то прибыль компании составит: $$\tilde{П}=\left(160-\dfrac{Q}{2}\right) Q -20Q-10-tQ$$
За правильные расчёты – 1 балл

Тогда, максимизируя прибыль, компания будет производить $\tilde{Q}=140-t$. При этом выплаты в региональный бюджет составят $T=t\tilde{Q}=t\cdot (140-t)$. Графически эта функция представляет собой в координатах $(t,T)$ параболу, ветви которой направлены вниз, поэтому максимальный доход от налогообложения власти смогут получить, если налог составит $\tilde{t}=70$. При таком налоге будет продано $\tilde{Q}=140-70=70$ по цене $\tilde{P}=160-\dfrac{70}{2}=125$

За правильные расчёты – 3 балла

Объём продаж напитка после введения налога сокращается вдвое, следовательно, снижается на $50 \%$.
Цена напитка возрастает на $100\cdot \dfrac{125-90}{90} \approx 38 \%$

За правильные расчёты – 2 балла

Ответ:

На $50 \%$ сокращается объём продаж и на $38 \%$ увеличивается цена напитка.

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Комментарии

Все задачи этой олимпиады

Задача	Баллы
1000 фирм	10
Газированный "Южный"	10
Параболас и Лаффер	10
Труд в Альфа	10

Задача	Баллы
Монопсония на рынке труда	10
Необычная КПВ	10
Про эластичность и налоги	10
Труд в Альфа	10

Задача	Баллы
Забор вокруг школы	10
Манипуляции с вкладом	10
Ранок паровозов	10
Яблочная	10

Задача	Баллы
Необычное предложение	10
Обувь со скидкой	10
Ранок паровозов	10
Яблочная	10