Задача 1 ОЧ-2016 (11 класс)

Крестьянин Иван владеет двумя полями площадью по 20 гектар. На одном гектаре первого поля можно вырастить 12 тонн пшена или 16 тонн ржи. На гектаре другого поля можно вырастить 8 тонн пшена или 4 тонны ржи. Известно, что Иван выращивает $x_0$ тонн ржи и использует свои земельные ресурсы полностью и эффективно.

Старший брат Ивана владеет одним полем площадью в 40 гектар, на гектаре которого можно выращивать $a$ тонн пшена или $a$ тонн ржи, и предлагает Ивану обменяться злаковыми культурами.

Продуктовые талоны: реальная или фиктивная мера?

Как свидетельствует Росстат, в первом квартале численность граждан Российской Федерации с ежемесячным доходом ниже прожиточного минимума выросла до 22,7 млн человек. В отчете ВЦИОМ сообщается, что за прошедший год число бедных семей увеличилось почти вдвое. По всем данным выходит, что 15% населения страны находится за чертой бедности, а к её грани подходит ещё 10% населения.

Альтернативные источники энергии

Как известно, уже прошло 150 лет с тех пор как изобрели альтернативные источники энергии. Но только в 21 веке они стали реально замещать традиционные способы получения электроэнергии. После трагедии в 2011 году на атомном реакторе в Фукусиме европейское общество и власть всерьез обратили внимание на важные преимущества возобновляемых источников электроэнергии: безопасность и эффективность.

«ОпОп» Чидагоп

Предположим, Вы являетесь коммерческим директором телекоммуникационной компании «ОпОп», славящейся на рынке своей безупречной зоной покрытия. Одна из труднодоступных зон – город Чидагоп, и «ОпОп» - единственная, кто там работает. В бизнесе «ОпОп» уже не первый год и знает, что потребители делятся на бизнесменов и домохозяек. Бизнесмены ценят минуту звонка на уровне $v_б=0{,}15$, в то время как домохозяйки на уровне $v_д=0{,}1$.

Комиксы в городе

В огромном процветающем городе гранд-Курнополис долгое время существовала только одна компания А++, продававшая и рисовавшая комиксы. В городе комиксы пользуются популярностью у двух групп людей: у богатых и у бедных со спросом $Q_1^D=200-0{,}5P$ и со спросом $Q_2^D=100-0{,}5P$ соответственно, (Q – тысяча экземпляров).

Субсидирование монополиста

На монопольном рынке спрос определяется как $Q^D=20-2P$, а производство единицы продукции обходится монополисту в £2. Чтобы снизить вызванные монополизацией потери благосостояния, государство субсидирует монополиста – за каждую проданную единицу продукции фирма получает £ S. Предоставление субсидии сопряжено для государства с некоторыми дополнительными расходами – оно несёт затраты на сбор средств и управление ими.

Верю - не верю

В стране Наивляндия живут очень доверчивые люди, которые безоговорочно верят любому заявлению Центрального Банка. Банк не злоупотребляет доверием граждан, но пользуется им. Ученые страны выявили функцию, способную сделать всех жителей страны счастливыми! Функция выражает зависимость между потерями общества L от темпа инфляции $\pi$ и уровня безработицы $u$. А именно:
\[L(u,\pi)=\dfrac{1}{2}u^2+\dfrac{1}{2}\pi^2\]
Чтобы всем жилось как можно лучше L должно быть как можно меньше.

Одному хорошо, а в компании лучше?

Удовольствие (полезность), которое получает индивид, потребляющий благо, может зависеть не только от характеристик самого блага, но и от количества людей, потребляющих его одновременно с ним. Эту зависимость для разных благ можно изобразить графически. На приведенных ниже графиках по горизонтальной оси отложено количество пользователей (потребителей) блага ($N$), а по вертикальной — удовольствие, которое получает от потребления каждый из них ($U$, в ютилях).

О целочисленности решения

В олимпиадных задачах часто предполагается, что определенные величины, которые по своей природе могут принимать только целые значения, могут выражаться не только целыми числами. Это делается для упрощения решения. В практических задачах, однако, игнорировать целочисленность зачастую нельзя, так как решение в целых числах может существенно отличаться от решения в действительных числах. Рассмотрим это на следующем примере.

Вкусняшки в лесном царстве

На рынке вкусняшек в лесном царстве действуют две группы покупателей: звери и птицы. Спрос зверей описывается функцией $P = 10 – 0,05 \cdot Q$, а спрос птиц – функцией $P = 60 – 0,1 \cdot Q$, где $P$ – цена тонны вкусняшек в тугриках, а $Q$ – количество вкусняшек, которое хотят приобрести покупатели, в тоннах. О предложении вкусняшек известно только то, что оно описывается линейной функцией и при цене 4 тугрика за тонну ценовая эластичность предложения вкусняшек равна 1.