Уклонение от налогов

Нам нужно из этого неравенства как-то получить неравенство на общую прибыль фирмы. Поэтому найдем, как в случае целочисленного выпуска связаны между собой величины, $P_d$ и $MR$, $MC$ и $AC$.

$MR(Q)=TR(Q)-TR(Q-1)=QP_d(Q)-(Q-1)P_d(Q-1)=P_d(Q-1)-Q\cdot(P_d(Q-1)-P_d(Q))$.

Аналогично получаем, что $MC(Q)=AC(Q-1)+Q\cdot(AC(Q)-AC(Q-1))$.

Значит, неравенство $MR(30)\ge MC(30)$ перепишется как
$$P_d(29)-30\cdot (P_d(29)-P_d(30))\ge AC(29)+30\cdot(AC(30)-AC(29)) $$
Или:
$$P_d(29)-AC(29)\ge 30\cdot(P_d(29)-P_d(30)+AC(30)-AC(29)) $$
Значит,
$$\pi(29)=29\cdot(P_d(29)-AC(29))\ge 29\cdot 30\cdot(P_d(29)-P_d(30)+AC(30)-AC(29)) $$
Величина $P_d(29)-P_d(30)$ является неотрицательной, так как функция спроса убывает; $AC(30)-AC(29)=0,02$ из условия.

Окончательно получаем, что
$$\pi(29)\ge 29\cdot 30\cdot 0,02=17,4$$

Поскольку фирма указала в отчете $\pi(29)=14,9 \lt17,4$, она занизила уровень прибыли.

Граница $\pi(29)=17,4$ достигается, например, если
$$TC(Q)=
\begin{cases}
a\cdot Q, & Q\le 29;\\
(a+0,6)\cdot(Q-29)+a\cdot 29, & Q\ge 30;
\end{cases}$$
для некого $a>0$ и $P_d(Q)=a+0,6$ независимо от $Q$. В этом случае все данные из условия ($AC(30)-AC(29)=0,02$, оптимальные объёмы в 2117 и 2118 году равны 29 и 30 соответственно) выполнены, и при этом $\pi(29)=(a+0,6)\cdot 29-a\cdot 29=17,4$.

Значит, минимальная недополученная сумма налога равна $(17,4-14,9)/5=0,5$ млрд. руб. (Налог на прибыль никак не влияет на максимизационную задачу фирмы, и поэтому выше мы его не вводили явно.)

Ответ: 500 млн. руб.

Альтернативное решение: вместо $MR(30)\ge MC(30)$ можно было записать эквивалентное условие $\pi(30)\ge \pi(29)$, и непосредственно работать с этим неравенством.

На это второе решение никак не влияет целочисленность. Действительно, можно доказать, что если есть два выпуска $Q_1$ и $Q_2>Q_1$, не обязательно целые, но такие, что $\pi(Q_2)\ge \pi(Q_1)$, то
$$ \frac{\pi (Q_1)}{Q_1}-\frac{1}{Q_2} \ge \frac{\pi (Q_1)}{Q_1}-\frac{\pi (Q_2)}{Q_2} \ge \frac{\frac{TC(Q_2)}{Q_2}-\frac{TC(Q_1)}{Q_1}}{.}$$
Или: $\pi(Q_1)\ge \frac{Q_1Q_2}{Q_2-Q_1}(AC(Q_2)-AC(Q_1))$