Сапоги-скороходы

а). Введение натурального сбора, уплачиваемого производителями, изменит функцию рыночного предложения, следовательно, изменится цена и решение каждого производителя об объёмах производства.
При любой цене производитель определяет объём производства так, чтобы максимизировать прибыль. Если каждый мастер производит $q$ пар сапог, то продает он $q-(q-1)\cdot0,5$ пары. Тогда:
\[\begin{equation}\pi=P\left(q-(q-1)\cdot0,5\right)-2q^2-4q-10\rightarrow \max\\
0,5P-4=4q\\
q^*=\frac{0,5P-4}{4}=\frac{1}{8} P-1\end{equation}\]
Однако в данной ситуации объём производства не совпадает с объёмом предложения. На рынке каждый мастер будет предлагать $q_s=q^*-(q^*-1)\cdot0,5$. То есть:
\[\begin{equation}q_s=\left(\dfrac{1}{8} P-1\right)-\left(\dfrac{1}{8} P-1-1\right)\cdot0,5\\
q_s=\dfrac{1}{16} P\\
Q_S=40\cdot \dfrac{1}{16} P=2,5P\end{equation}\]
Найдем равновесную цену, равновесное количество и величину предложения одной фирмы:
\[\begin{equation}600-10P=2,5P\\
P=48\\
Q=120\\
q=3\end{equation}\]
То есть на рынке каждый мастер будет продавать 3 пары сапог, а производить: $q^*=\dfrac{1}{8}\cdot48-1=5$
Значит, в виде налога каждым мастером будет уплачено 2 пары сапог $\left(5 – 3 = 2 \text{, или иначе } (5 – 1) \cdot 0,5 = 2\right)$. Следовательно, можно будет обуть 80 дружинников $(40 \cdot2 = 80)$.

б) Прибыль каждого мастера после введения натурального налога:
\[\pi_1=48\cdot3-2\cdot5^2-4\cdot5-10=64\]
Определим объем производства каждого мастера и его прибыль до введения налога. Для этого определим функцию рыночного предложения и равновесную цену.
Предложение каждого мастера определяется из условия $P=MC$:
\[\begin{equation}P=4q+4\\
q_S=\dfrac{P-4}{4}\\
Q_S=10P-40\\
600-10P=10P-40\\
P=32\\
Q=280\\
q=7\\
\pi_0=7\cdot32-2\cdot7^2-4\cdot7-10=88\end{equation}\]